Schemat Bernouliego?

[mikolajm]

Hej.

Jako wybitny laik w tematyce związanej z rachunkiem prawdopodobieństwa, bardzo ucieszyłbym się, gdyby ktoś mógł mi podać odpowiedź (lub odpowiedzi - to jest test wielokrotnego wyboru) do następującego zadania:

w ciągu 2n jednakowych niezależnych doświadczeń prawdopodobieństwo sukcesu równe jest 1/2. Wówczas prawdopodobieństwo p(k) uzyskania dokładnie k sukcesów spełnia warunek:

a) \(\displaystyle{ p(k) < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}}\) dla k=0,1,2,...,2n

b) \(\displaystyle{ p(k) > \frac{1}{\sqrt{2n+1}}}\) dla k=0,1,2,...,2n

c) \(\displaystyle{ p(k) = \frac{1}{\sqrt{2n+1}}}\) dla k=0,1,2,...,2n

d) \(\displaystyle{ p(k) q p(n)}\) dla k=0,1,2,...,2n

Z góry dzięki za pomoc.

[Sir George]

Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie \(\displaystyle{ k}\) sukcesów w ciągu \(\displaystyle{ 2n}\) niezależnych wynosi dokładnie
\(\displaystyle{ P(X=k)={ 2n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}}\)
gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest prawdopodobieństwem sukcesu.
Pdstawiając za \(\displaystyle{ p=1/2}\) łatwo już zobaczyć, że prawdziwy jest punkt (d).
Trochę trudniej pokazać, że prawdziwy jest również punkt (a), tzn
\(\displaystyle{ P(X=k)}\)

[mikolajm]

OK, dzięki wielkie.

Tylko jedna uwaga: prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(X=k)}\) wynosi \(\displaystyle{ {2n \choose k}p^{k}(1-p)^{2n-k}}\).

A udowodnienie tej nierówności już nie jest takie złe...