Udowodnij - zdarzenia niezależne

[jokerek8]

Udowodnij, że jeżeli zdarzenia A i B są niezależne to zdarzenia A i B' też są niezależne.

[Crizz]

Wiemy, zę \(\displaystyle{ P(A)P(B)=P(A \cap B)}\)
Zauważmy, że zachodzi \(\displaystyle{ A= (A \cap B') \cup (A \cap B)}\); zdarzenia \(\displaystyle{ (A \cap B'),(A \cap B)}\) wykluczają się, zatem:
\(\displaystyle{ P(A)=P(A \cap B')+P(A \cap B)}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B')=P(A)-P(A \cap B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))= \\ =P(A)P(B')}\)
czyli zdarzenia \(\displaystyle{ A,B'}\) również są niezależne.