Gęstość funkcji od zmiennej losowej

[sallywanka]

Witam serdecznie,

Mam problem z zadaniem z rachunku prawdopodobieństwa.




\(\displaystyle{ X \sim N(0,1)}\)

Gęstość tego rozkładu wynosi rzecz jasna \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ \frac{-x ^2}{2}}\)

Trzeba wyznaczyć gęstość \(\displaystyle{ Z=X^2}\).

Niestety nie wiem, z czego mam tu skorzystać.





Z góry dziękuję za pomoc!

[luka52]

Funkcja \(\displaystyle{ z = x^2}\) jest określona na całej osi rzeczywistej, ale nie jest różnowartościowa. Podzielmy \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) na \(\displaystyle{ (-\infty, 0]}\) i \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\) - tak by w każdym z tych przedziałów funkcja była ściśle monotoniczna. Dalej wyznaczamy funkcję odwrotną i jej pochodną.
\(\displaystyle{ x \in (-\infty, 0]}\): \(\displaystyle{ x = - \sqrt{z}}\), \(\displaystyle{ x' = - \tfrac{1}{2\sqrt{z}}}\) dla \(\displaystyle{ z > 0}\);
\(\displaystyle{ x \in (0, +\infty)}\): \(\displaystyle{ x = \sqrt{z}}\), \(\displaystyle{ x' = \tfrac{1}{2\sqrt{z}}}\) dla \(\displaystyle{ z > 0}\).
Stąd zmienna losowa Z ma rozkład o gęstości:

\(\displaystyle{ f(z) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(-\sqrt{z})^2}{2}} \frac{1}{2 \sqrt{z}} + \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(\sqrt{z})^2}{2}} \frac{1}{2 \sqrt{z}} &, z > 0\\ 0 &, \text{dla pozostałych } z \end{cases}}\)

[darlove]

Witam serdecznie,

Mam problem z zadaniem z rachunku prawdopodobieństwa.

\(\displaystyle{ X \sim N(0,1)}\)

Gęstość tego rozkładu wynosi rzecz jasna \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{ \frac{-x ^2}{2}}\)

Trzeba wyznaczyć gęstość \(\displaystyle{ Z=X^2}\)

Jest prosty sposób na takie rzeczy. Gęstość to po prostu pochodna dystrybuanty. Najpierw znajdujesz dystrybuantę nowej zmiennej. To proste:

\(\displaystyle{ F_{X^2}(t)=\Pr(X^2 \le t)=\Pr( \left| X \right| \le \sqrt{t} )=\\
\Pr(-\sqrt{t}\le X \le\sqrt{t})=\Pr(X\le\sqrt{t})-\Pr(X\le -\sqrt{t})=\\
F_X(\sqrt{t})-F_X(-\sqrt{t}),}\)

gdzie przedostatnia równość wynika z faktu, że zmienna ma rozkład ciągły, zatem pomija zbiory miary 0, a takim zbiorem jest zbiór jednopunktowy. Oczywiście, to co powyżej ma sens dla wartości \(\displaystyle{ t}\) dodatnich bądź zero. Zmienna jest przecież nieujemna. Teraz możesz już zróżniczkować ostatnie wyrażenie po \(\displaystyle{ t}\) i otrzymasz gęstość. Gwoli ścisłości: dla wartości \(\displaystyle{ t}\) mniejszych od zero dystrybuanta jest 0. Przypominam, że pochodna z dystrybuanty to gęstość.

[sallywanka]

\(\displaystyle{ f(z) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\farc{(-\sqrt{z})^2}{2}} \frac{1}{2 \sqrt{z}} + \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\farc{(\sqrt{z})^2}{2}} \frac{1}{2 \sqrt{z}} &, z > 0\\ 0 &, \text{dla pozostałych } z \end{cases}}\)

Właśnie tego potrzebowałam, tzn. zapisu w tej formie. Do tego, co pokazał darlove udało mi się samej dojść.
Dziękuję bardzo za pomoc.