Takie zadanko ciekawe mi się przytrafiło:
Mam policzyć \(\displaystyle{ E(X|Y=y), E(X^{2}|Y=y)}\) oraz \(\displaystyle{ E(Y|X=x)}\) i mam daną gęstość o taką:
\(\displaystyle{ f(x,y) = \frac{27}{288}(|x|+|y|), (x,y) \in K}\)
,gdzie \(\displaystyle{ K}\) to równoległobok ograniczony prostymi \(\displaystyle{ y=x-1, y=x+1, y=\frac{x}{3}-1, y=\frac{x}{3}+1}\).
Wszędzie indziej ta gęstość jest równa zero.
Wiem, że do mojego zadania potrzebna jest mi gęstość warunkowa, a do tego gęstość brzegowa \(\displaystyle{ f_{Y}(y)}\) oraz \(\displaystyle{ f_{X}(x)}\).
Czy macie jakiś pomysł, jak sprytnie podejść do policzenia tych gęstości? Dla \(\displaystyle{ f_{Y}}\) myślałem nad policzeniem tej gęstości najpierw dla \(\displaystyle{ y \in [-2,-1]}\),a potem dla \(\displaystyle{ y \in [-1,0], y \in [0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ y \in [1,2]}\).
Sęk w tym, że nie wiem, czy rozsądnie tu podzieliłem ten y czy dobre granice ustaliłem itp. Na przykład dla tego pierwszego przedziału, czy powinno to wyglądać o tak:
\(\displaystyle{ \int\limits_{y-1)}^{3(y-1)} c(-x-y) dx}\), gdzie \(\displaystyle{ c = \frac{27}{288}}\) ?
Zaś dla drugiego przedziału to chyba trzeba rozbić na sumę całek:
\(\displaystyle{ \int_{y-1}^{0} c(-x-y) dx + \int_{0}^{y+1} c(x-y)}\), gdzie \(\displaystyle{ c = \frac{27}{288}}\)
Na razie dalszych etapów rozwiązania nie próbowałem pocisnąć. Prosiłbym o potwierdzenie, czy moja metoda ma sens (lub nie) oraz o ewentualne wskazówki, jak liczyć dalej czy też na jakie wredne pułapki uważać. Najwyżej będę kontynuował wątek Za wszelkie podpowiedzi byłbym wdzięczny
Pozdrawiam,
Behcio