Zadania z prawdopodobieństwa

[miszi]

Hejka. Mam problem, muszę rozwiązać 4 zadania z prawdopodobieństwa lecz kompletnie nie wiem o co w tym chodzi. oto te zadania:

zad1:
w pudełku jest 7 płyt CD włożonych losowo. Na trzech z nich znajdują się gry komputerowe. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wszystkie płyty z grami komputerowymi znajdują się obok siebie.

zad2:
do windy stojącej na parterze w budynku ośmiopiętrowym wsiadło 5 osób, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wszystkie osoby wysiądą na różnych piętrach.

zad3:
w urnie jest 27 kul ponumerowanych liczbami od 5 do 31. Kule z nr. od 5 do 20 są zielone, a pozostałe są żółte. Losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę czarną lub z numerami podzielnymi przez 3.

zad4:
w rajdzie pieszym uczestniczy grupa młodzieży składająca się z 5 harcerek i 4 harcerzy. wszyscy maszerują gęsiego. ile istnieje sposobów ustawienia się, jeżeli harcerze nie mogą sąsiadować z harcerkami a harcerki z harcerzami.

Jeśli byłby ktoś tak miły aby to rozwiązać to będę bardzo wdzięczny może nawet nie tyle rozwiązać co podpowiedzieć dla laika jakie wzory zastosować i co pod co podstawić

[darlove]

Każde takie zadanie należy przetłumaczyć na zadanie o liczbie odpowiednich ciągów liczb. Np. zadanie 1 rozwiązuje się tak (a są to standardowe chwyty, których trzeba by było się nauczyć).

Ponumerujmy płyty od 1 do 7, ale tak, aby płyty z grami były ponumerowane 1, 2, 3. Pytanie sprowadza się do pytania:

Ile jest takich ciągów \(\displaystyle{ (k_1,...,k_7)}\), że liczby \(\displaystyle{ 1,2,3}\) występują tam razem? Najpierw potraktujmy ciąg \(\displaystyle{ (1,2,3)}\) jako coś ustalonego raz na zawsze i nazwijmy to \(\displaystyle{ \alpha}\). Teraz zapytajmy: Ile jest ciągów takich, że są tam liczby od 4 do 7 i nasza \(\displaystyle{ \alpha}\)? Od cztery do siedem, bo \(\displaystyle{ \alpha}\) zawiera w sobie trzy początkowe liczby, które muszą być razem. Takich ciągów jest \(\displaystyle{ ((7-3)+1)!}\). Uwaga: Tutaj kolejność oczywiście ma znaczenie. Dobra. To mamy połowę zadania. Teraz każdy taki ciąg z \(\displaystyle{ \alpha}\) zawiera w sobie \(\displaystyle{ 3!}\) możliwości ustawienia liczb \(\displaystyle{ 1,2,3}\) w samej \(\displaystyle{ \alpha}\)-ie, bo przecież te płytki nie muszą koniecznie być w kolejności \(\displaystyle{ 1,2,3}\), a dowolnej, byle były razem. A są razem, bo są zaklęte w \(\displaystyle{ \alpha}\)-ie. Zatem odpowiedź brzmi: Jest \(\displaystyle{ 5! \cdot 6}\) takich ustawień. Teraz już prawd. obliczamy prost(ack)o. Dzielisz liczbę ciągów sprzyjających przez liczbę wszystkich, czyli \(\displaystyle{ \frac{5!*6}{7!}= \frac{1}{7}}\).

-- 6 grudnia 2009, 01:48 --

zad2:
do windy stojącej na parterze w budynku ośmiopiętrowym wsiadło 5 osób, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wszystkie osoby wysiądą na różnych piętrach.

Pierwsza osoba może wysiąść na jednym z ośmiu pięter. Druga, gdy pierwsza już gdzieś wysiądzie, może wysiąść na siedmiu piętrach (bo jedno już zajęte), trzecia na 6 piętrach, czwarta na 5 i piąta na 4 piętrach. W sumie ilość możliwości to iloczyn, czyli \(\displaystyle{ 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}\). Tyle jest zdarzeń sprzyjających. Zatem prawd. jest równe \(\displaystyle{ \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8}}\).

-- 6 grudnia 2009, 01:58 --

zad3:
w urnie jest 27 kul ponumerowanych liczbami od 5 do 31. Kule z nr. od 5 do 20 są zielone, a pozostałe są żółte. Losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę czarną lub z numerami podzielnymi przez 3.

Niech \(\displaystyle{ C}\) oznacza wylosowanie kuli czarnej, a \(\displaystyle{ T}\) zdarzenie, że wylosowano kulę z numerem podzielnym przez 3. Mamy obliczyć \(\displaystyle{ \Pr(C \cup T)}\). No to liczymy. \(\displaystyle{ \Pr(C)=\frac{0}{27}=0}\), \(\displaystyle{ \Pr(T)=\frac{9}{27}}\). Zatem, \(\displaystyle{ \Pr(C \cup T)=\Pr(C) + \Pr(T) - \Pr(C \cap T)= \frac{9}{27}}\). Oczywiście, prawd. iloczynu zdarzenia niemożliwego z każdym innym jest 0.

-- 6 grudnia 2009, 02:05 --

zad4:
w rajdzie pieszym uczestniczy grupa młodzieży składająca się z 5 harcerek i 4 harcerzy. wszyscy maszerują gęsiego. ile istnieje sposobów ustawienia się, jeżeli harcerze nie mogą sąsiadować z harcerkami a harcerki z harcerzami.

Rozumiem, że chodzi o to, że harcerze idą zwartą grupą i to samo z harcerkami, tzn. żadna osoba nie może mieć więcej jak jednego sąsiada płci przeciwnej; słowem: jedni nie mieszają się z drugimi... To chyba zadanie z jakiegoś katolickiego podręcznika. Ale zaczynajmy. Harcerze mogą iść na początku grupy lub na końcu. Policzymy, ile jest ustawień, gdy są na początku grupy. To jest \(\displaystyle{ 4! \cdot 5!}\), bo jedni i drudzy mogą się permutować tylko w obrębie swoich grup. Teraz, to samo zachodzi, gdy sytuacja jest odwrotna, harcerki na przedzie. Zatem sposobów ustawienia jest \(\displaystyle{ 2 \cdot 4! \cdot 5!}\).