Dwie urny, 10 kul w każdej - drzewko

johnny1591 · Post autor: **johnny1591** » 3 gru 2009, o 15:37

W pierwszej urnie jest 6 kul białych i 4 czarne, a w drugiej urnie odwrotnie - 4 kule białe i 6 czarnych.
Rzucamy kostką do gry. Gdy wypadnie szóstka lub jedynka, losujemy kulę z pierwszej urny i wkładamy
ją do drugiej urny, w przeciwnym wypadku przekładamy losowo wybraną kulę z urny drugiej
do pierwszej. Następnie losujemy jedną kulę z tej urny, w której jest więcej kul. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugą wylosowaną kulą będzie kula biała?

Uprzejmie proszę o drzewko, wiem, że da się policzyć bez niego, bo obliczyłem, aczkolwiek wymóg jest, że niezbędne jest drzewko.

Pozdrawiam!

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 3 gru 2009, o 17:36

Oznaczenie 6B4C/1 oznacza 6 kul białych i 4 czarne w urnie 1.

Na pierwszym poziomie masz punkt oznaczający rzut kostką i dwie gałęzie: lewa (P=1/3 i prawa P=2/3):

Pierwsza prowadzi do urny 1: 6B4C/1
natomiast druga do urny 2: 4B6C/2

Z każdego z tych punktów prowadzą po dwie gałęzie oznaczające prawdopodobieństwa wylosowania kuli koloru czarnego lub białego:

- z pierwszej urny: (Q) - 4/10 i (R) - 6/10
- z drugiej urny: (S) - 6/10 i (T) - 4/10

I teraz każda z podanych linii prowadzi do urny z nową zawartością kul (po przełożeniu wylosowanej) tzn.

Q -> 4B7C/2
R -> 5B6C/2
S -> 6B5C/1
T -> 7B4C/1

I na koniec z każdego z punktów Q, R, S, T prowadzą dwie gałęzie oznaczające prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej i czarnej, odpowiednio: 4/11; 7/11; 5/11; 6/11 itd.

Myślę, że te wskazówki Ci wystarczą?

johnny1591 · Post autor: **johnny1591** » 3 gru 2009, o 18:14

wydaje mi się, że za mało tych gałęzi jest, bo mi się zdaje, że

I teraz każda z podanych linii prowadzi do urny z nową zawartością kul (po przełożeniu wylosowanej) tzn.
Q -> 4B7C/2
R -> 5B6C/2
S -> 6B5C/1
T -> 7B4C/1

tutaj
Q powinno do dwóch prowadzić i reszta też ?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 3 gru 2009, o 18:21

Tak. Jedna gałąź oznacza wylosowanie kuli białej a druga czarnej.

johnny1591 · Post autor: **johnny1591** » 3 gru 2009, o 18:23

Dziękuję bardzo

Jednakże dalej coś mi nie pasuje i się nie zgadza ( Proszę o pomoc raz jeszcze

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 3 gru 2009, o 20:25

Ale co Ci się konkretnie nie zgadza?

johnny1591 · Post autor: **johnny1591** » 3 gru 2009, o 20:28

I teraz każda z podanych linii prowadzi do urny z nową zawartością kul (po przełożeniu wylosowanej) tzn.
Q -> 4B7C/2
R -> 5B6C/2
S -> 6B5C/1
T -> 7B4C/1

do czego prowadzi każdy z tych punktów skoro rozkłada się na 2 gałęzie ?
bo tego nie wiem właśnie

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 3 gru 2009, o 20:52

Każdy z tych punktów prowadzi do wyniku ostatniego losowania po przełożeniu kul zgodnie z warunkami zadania. To drzewka ma trzy piętra:

I - rzut kostką
II - losowanie z urn z podaną zawartością
III - losowanie z urn ze zmienioną zawartością.

johnny1591 · Post autor: **johnny1591** » 3 gru 2009, o 20:56

mi chodzi tutaj jak z poziomu

\(\displaystyle{ rzut kostka}\)

.......................................\(\displaystyle{ 6B4C|1}\)............................\(\displaystyle{ 4B6C|2}\)

................................\(\displaystyle{ C..................B}\)....................\(\displaystyle{ C.................B}\)

tych C i B co dalej zrobić

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 3 gru 2009, o 21:40

Od początku:

Załóżmy, że po lewej masz gałąź wyniku rzutu kostką 1/3 a po prawej 2/3. Ta gałąź po lewej stronie prowadzi do 6B4C/1 a ta po prawej do 4B6C/2 i teraz pisząc kolejno od lewej masz prawdopodobieństwa wylosowania kul danego koloru (zakładamy, że od lewej zawsze będzie kolejno kula C i B) :

(Q)C - 4/10 ; (R)B - 6/10 | (S)C - 6/10 ; (T)B - 4/10

Q, R, S, T - to są tylko punkty do identyfikacji miejsca podczas dalszego opisu.

Jeżeli jesteś w punkcie Q, to znaczy, że w pierwszym losowaniu wylosowałeś z urny 1 kulę czarną. Trafia ona więc do urny 2 i z tej urny jest drugie losowanie - urna ta wygląda tak: 4B7C/2.

Jeżeli jesteś w punkcie R, to znaczy, że w pierwszym losowaniu wylosowałeś z urny 1 kulę białą.
Trafia ona więc do urny 2 i z tej urny jest drugie losowanie - urna ta wygląda tak: 5B6C/2.

Jeżeli jesteś w punkcie S, to znaczy, że w pierwszym losowaniu wylosowałeś z urny 2 kulę czarną. Trafia ona więc do urny 1 i z tej urny jest drugie losowanie - urna ta wygląda tak: 6B5C/1.

Jeżeli jesteś w punkcie T, to znaczy, że w pierwszym losowaniu wylosowałeś z urny 2 kulę białą.
Trafia ona więc do urny 1 i z tej urny jest drugie losowanie - urna ta wygląda tak: 7B4C/1.

I teraz z każdego z powyższych punktów masz 2 gałęzie pokazujące prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej i białej.

Np. z punktu Q (4B7C/2) masz wyniki: 7/11 (dla kuli C) oraz 4/11 (dla kuli B) itd.

Czy teraz jest to bardziej przejrzyste?

johnny1591 · Post autor: **johnny1591** » 3 gru 2009, o 21:49

Jeżeli jesteś w punkcie Q, to znaczy, że w pierwszym losowaniu wylosowałeś z urny 1 kulę czarną. Trafia ona więc do urny 2 i z tej urny jest drugie losowanie - urna ta wygląda tak: 4B7C/2.

ale jak pociągnąć dalej gałęzie?
1 w dół czy 2?

//// już wiem teraz wszystko !

Bardzo dziękuję za poświęcony czas