cukierki przed śniadaniem

[lanoly]

Witam takie oto zadanko:

Szacuje się że 1% ludności je cukierki przed śniadaniem je cukierki. Jakie jest prawdopodobieństwo ze w 40 milionowym kraju cukierki przed śniadaniem je więcej niż 405 000 osob?

z góry dziekuję za pomoc
Lanoly

[mm34639]

Rozkład Bernoulliego mówi jakie jest prawdopodobieństwo k sukcesow w n próbach jeżeli prawdopodobieństwo pojednczego sukcesu
wynosi p

jeżeli n*p oraz n*p*(1-p) są większe niż 5, to można go przybliżyć rozkładem normalnym N(np, √(np(1-p)))

u nas n=40 000 000 , p=1/100 , czyli np = 400 000 , np(1-p) = 396 000 , więc nie ma przeciwwskazań...

mała dygresja: Zauważmy, że rozkład normalny jest rozkładem ciągłym, więc właściwie prawdopodobieństwo, że zm. losowa przyjmie konkretną wartość jest równe 0 , można liczyć prawdopodobieństwo, że zmienna będzie w jakimś przedziale, co ma sens zważywszy na wysokie n (np: prawdopodobieństwo, że X= 405 000 można wyznaczyć z Bernoulliego albo łatwiej z Poissona, ale będzie ono bliskie zeru, przy użyciu normalnego bedzie równe 0 niejako z definicji...) Z drugiej strony prawdopodobieństwo, że zmienna będzie mniejsza/większa od jakiejś wartości teoretycznie da się policzyć z Bernoulliego/Poissona, ale byłoby to baardzo żmudne, a z normalnego mając tablice dystrybuanty da się zrobić w chwilę, a wynik nie będzie się istotnie różnił...

wracając do przykładu...

Niech X~N(np, √(np(1-p))) czytaj: X ma rozkład normalny o parametrach (m=np, σ=√(np(1-p)))
czyli po podstawieniu N(400 000, √396 000)
Chcemy policzyć prawdopodobieństwo, że X>405 000
trzeba dokonać standaryzacji...
P(X>405 000)=P[(X-400 000)/(√396 000) > (405 000 - 400 000)/(√396 000)] =

// TeX cosik nie działa , a nie mam tu własnego edytora żeby to bezbłędnie wklepać, więc sorry
u to zmienna po standaryzacji, ma rozkład N(0,1)

=P(u>7,94)=1-P(u