Losowanie bez zwracania

[Neovigo]

Jestem w drugiej klasie liceum... pytanie, które zadam zadaję z czystej ciekawości...
Nie pomogą mi wzory z P(A) itd, przydałoby się raczej z grubsza wytłumaczenie zagadnienia...

Przypuśćmy, że mamy urnę z ośmioma kulkami - 4 białe i 4 czarne. Losujemy bez zwracania po jednej tak długo, aż wyciągniemy kulkę białą.

Mam obliczyć wartość oczekiwaną liczby losowań.

Na początku myślałem, że trzeba obliczyć prawdopodobieństwa że wylosujemy tę kulkę w pierwszym, w drugim, w trzecim, czwartym losowaniu. Jednak już dla piątego losowania jest to zdarzenie pewne, więc wartość oczekiwana wyjdzie jakoś z kosmosu. Doszedłem do wniosku że nie tędy droga.

Pomyślałem więc, że tak naprawdę potrzebne mi są prawdopodobieństwa, że będę potrzebować jednego (dwóch, trzech, czterech, pięciu) losowań... Prawdopodobieństwo, że wystarczy jedno losowanie, wynosi 1/2 (to oczywiste).

Natomiast... jakie jest prawdopodobieństwo, że będę potrzebować aż dwóch losowań? Moje rozumowanie jest takie: (i tu po prostu proszę o zweryfikowanie prawidłowości)...
Żeby w ogóle doszło do drugiego losowania, muszę wylosować w pierwszym kulkę czarną. Zdarzenie to zachodzi z prawdopodobieństwem 0.5 .
Zostanie mi 7 kulek, z nich 4 "pasują". zatem prawdopodobieństwo wylosowania spośród tych kulek kulki białej wynosi 4/7. Ponieważ jednak mamy tylko 50% szansy, że dojdzie do tego drugiego losowania, całkowite prawdopodobieństwo, że będą dwa losowania, wynosi 0.5 * 4/7 = 2/7. Mam rację?

To teraz... trzecie losowanie. Jeśli w ogóle ma do niego dojść, to w dwóch poprzednich musiałem wylosować dwa razy kulkę czarną... I tutaj zaczynam się gubić. Jak to policzyć?

[mm34639]

najpierw myślałem że to coś z prawdopodobieństrwem warunkowym, ale chyba nie..

prawdopodobieństwo, że w pierwszym wyjdzie biała to \(\displaystyle{ \frac{4}{8}}\)
prawdopodobieństwo, że w pierwszym czarna i w drugim biała to \(\displaystyle{ \frac{4}{8}*\frac{4}{7}=\frac{2}{7}}\)
prawdpopodobieństwo, że w pierwszym czarna, w drugim czarna a w trzecim biała to \(\displaystyle{ \underline{\frac{4}{8}*\frac{3}{7}}*\frac{4}{6}=\frac{1}{7}}\)- najpierw losujemy 4 z ośmiu, a później zostały tylko 3 z siedmiu...

prawd., że w czwartym biała to \(\displaystyle{ \frac{4}{8}*\frac{3}{7}*\frac{2}{6}*\frac{4}{5}=\frac{2}{35}}\) w piątym biała \(\displaystyle{ \frac{4}{8}*\frac{3}{7}*\frac{2}{6}*\frac{1}{5}*1=\frac{1}{70}}\)

innej liczby losowań nie będzie...
\(\displaystyle{ EX=1*\frac{1}{2}+2*\frac{2}{7}+3*\frac{1}{7}+4*\frac{2}{35}+5*\frac{1}{70}=1\frac{28}{35}}\)

nie jestem pewien, ale chyba tak się to robi...