wybór 2k butów z n par butów

[cajar]

W szafie było n par butów. Michał po ciemku wyciągnął losowo 2k butów(2k<n). Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród butów nie ma ani jednej pary.

[Wilkołak]

Można to rozbić na dwa przypadki: Łatwo zauważyć, że gdy 2k > n/2 (wyciągamy więcej niż połowę butów) to jasne jest, że znajdziemy jakąś parę.

Drugi przypadek: 2k < n/2.

Wydaje mi się że to może wyglądać tak:
Losujemy 1 buta z N par. Aby następnie nie trafić na parę musimy wylosować buta z N-1 pozostałych par, następnie jednego buta z N-2 par, i tak aż do n-2k+1. Czyli musimy wybrać 2k różnych par spośród N par. To będzie moc zbioru A.
\(\displaystyle{ A = {n \choose 2k}}\)
Teraz moc zbioru omega (wszystkich rozwiązań) to ilość sposobów na jaki w ogóle można wybrać 2k butów z 2n butów.
\(\displaystyle{ \Omega = {2n \choose 2k}}\)

Czyli koniec końców:
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{ {n \choose 2k} }{ {2n \choose 2k} }}\)

[cajar]

Można to rozbić na dwa przypadki: Łatwo zauważyć, że gdy 2k > n/2 (wyciągamy więcej niż połowę butów) to jasne jest, że znajdziemy jakąś parę.

Drugi przypadek: 2k < n/2.

Wydaje mi się że to może wyglądać tak:
Losujemy 1 buta z N par. Aby następnie nie trafić na parę musimy wylosować buta z N-1 pozostałych par, następnie jednego buta z N-2 par, i tak aż do n-2k+1. Czyli musimy wybrać 2k różnych par spośród N par. To będzie moc zbioru A.
\(\displaystyle{ A = {n \choose 2k}}\)
Teraz moc zbioru omega (wszystkich rozwiązań) to ilość sposobów na jaki w ogóle można wybrać 2k butów z 2n butów.
\(\displaystyle{ \Omega = {2n \choose 2k}}\)

Czyli koniec końców:
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{ {n \choose 2k} }{ {2n \choose 2k} }}\)

w odpowiedzi w książce było:
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{ {n \choose 2k} }{ {2n \choose 2k} }*2^{2k}}\)

czyli dalej nie bardzo dlaczego tak a nie inaczej się to rozwiązuje...

[Matematyq]

losujemy 2k par z n par
\(\displaystyle{ {n \choose 2k}}\)
z kazdej wylosowanej pary wybieramy jednego buta, 2 mozliwosci na kazde losowanie czyli
\(\displaystyle{ 2 ^{2k}}\)
moc omegi to oczywiscie
\(\displaystyle{ {2n \choose 2k}}\)

czyli wynik podany w odpowiedzi w ksiazce

[cajar]

ok, dzięki

[Wilkołak]

czyli dalej nie bardzo dlaczego tak a nie inaczej się to rozwiązuje...

Czemu tak mówisz? Jedna część jest prawidłowa, więc drugą łatwo już jest dostosować do odpowiedzi