wariancja dla danych x i odpowiadających im p

[niemo89]

proszę o pomoc bo nie wiem jak się zabrać za zadanie... Dotychczas liczyłem tylko wariancję do odchylenia standardowego, a tu mam tak na sucho podane i nie wiem jak się zabrać..

Oblicz wariancję dla danych x i odpowiadających im p:

x 1 2 3
p 0,2 0,6 0,2

[bstq]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) jest taka, że
\(\displaystyle{ P\left(X=1\right)=0.2,P\left(X=2\right)=0.6,P\left(X=3\right)=0.2}\)
Następnie mamy:
\(\displaystyle{ VarX=\mathbb{E}\left(X-\mathbb{E}X\right)^{2}=\mathbb{E}X^{2}-\left(\mathbb{E}X\right)^{2}}\)
liczymy najpierw wartość oczekiwaną:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\sum_{k}k\cdot p_{k}=\sum_{k}k\cdot P\left(X=k\right)=1\cdot P\left(X=1\right)+2\cdot P\left(X=2\right)+3\cdot P\left(X=3\right)=0.2+2\cdot0.6+3\cdot0.2=2}\)
a później drugi moment:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^{2}=\sum_{k}k^{2}\cdot p_{k}=\sum_{k}k^{2}\cdot P\left(X=k\right)=1^{2}\cdot P\left(X=1\right)+2^{2}\cdot P\left(X=2\right)+3^{2}\cdot P\left(X=3\right)=0.2+4\cdot0.6+9\cdot0.2=4.4}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ VarX=\mathbb{E}X^{2}-\left(\mathbb{E}X\right)^{2}=4.4-2^{2}=4.4-4=0.4}\)

[niemo89]

Dzięki wielkie. Mam jeszcze jedno zadanie: Obliczyć wariancję zmiennej losowej typu ciągłego

f(x)= 1 dla x w zbiorze [1,2]
0 dla x nie nalezące do zbioru [1,2]

Jak policzyć wariancję z tej funkcji?

[bstq]

\(\displaystyle{ X\sim f}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\int_{1}^{2}xf(x)dx=\int_{1}^{2}x\cdot1dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2}=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}}\)
- w rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [a,b]}\), tzn. takim, ze \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{|b-a|}}\)
dla \(\displaystyle{ x\in[a,b]}\) wartość oczekiwana zawsze jest równa \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^{2}=\int_{1}^{2}x^{2}f(x)dx=\int_{1}^{2}x^{2}\cdot1dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}}\)

\(\displaystyle{ VarX=\mathbb{E}X^{2}-\left(\mathbb{E}X\right)^{2}=\frac{7}{3}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{12}=\frac{\left(2-1\right)^{2}}{12}}\)
- w rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ [a,b]}\), tzn. takim, ze \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{|b-a|}}\)
dla \(\displaystyle{ x\in[a,b]}\) wariancja jest równa \(\displaystyle{ \frac{\left(b-a\right)^{2}}{12}}\)