Dana jest zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) i zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) określona wzorem \(\displaystyle{ Y = \frac{X - EX}{ \sqrt{D ^{2}(X) } }}\). Oblicz \(\displaystyle{ E(Y), D ^{2} (Y)}\)
proszę o pomoc..
oblicz wartość oczekiwaną..
-
bstq
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
oblicz wartość oczekiwaną..
\(\displaystyle{ EY=E\left(\frac{X-EX}{\sqrt{D^{2}(X)}}\right)=\frac{1}{\sqrt{D^{2}(X)}}E\left(X-EX\right)=\frac{1}{\sqrt{D^{2}(X)}}\left(EX-E\left(EX\right)\right)=\frac{1}{\sqrt{D^{2}(X)}}\left(EX-EX\right)=0}\)
korzystamy z liniowości E, tzn E(aX+b)=aEX+b
\(\displaystyle{ D^{2}\left(Y\right)=D^{2}\left(\frac{X-EX}{\sqrt{D^{2}(X)}}\right)=\frac{1}{D^{2}(X)}D^{2}\left(X-EX\right)=\frac{1}{D^{2}(X)}E\left[\left(X-EX\right)-E\left(X-EX\right)\right]^{2}=\frac{1}{D^{2}(X)}E\left[\left(X-EX\right)-EX+EX\right]^{2}=\frac{1}{D^{2}(X)}E\left(X-EX\right)^{2}=\frac{D^{2}(X)}{D^{2}(X)}=1}\)
korzystamy z tego ze \(\displaystyle{ D^{2}(aX+b)=a^{2}\cdot D^{2}(X)}\)
trzeba pamietac, ze jesli gdzies mamy samo \(\displaystyle{ E(\cdot)}\), albo \(\displaystyle{ D^{2}(\cdot)}\) to to sa liczby ustalone... stałe
proces odejmowania wartości oczekiwanej i dzielenia przez odchylenie standardowe nazywa sie standaryzacja zmiennej
korzystamy z liniowości E, tzn E(aX+b)=aEX+b
\(\displaystyle{ D^{2}\left(Y\right)=D^{2}\left(\frac{X-EX}{\sqrt{D^{2}(X)}}\right)=\frac{1}{D^{2}(X)}D^{2}\left(X-EX\right)=\frac{1}{D^{2}(X)}E\left[\left(X-EX\right)-E\left(X-EX\right)\right]^{2}=\frac{1}{D^{2}(X)}E\left[\left(X-EX\right)-EX+EX\right]^{2}=\frac{1}{D^{2}(X)}E\left(X-EX\right)^{2}=\frac{D^{2}(X)}{D^{2}(X)}=1}\)
korzystamy z tego ze \(\displaystyle{ D^{2}(aX+b)=a^{2}\cdot D^{2}(X)}\)
trzeba pamietac, ze jesli gdzies mamy samo \(\displaystyle{ E(\cdot)}\), albo \(\displaystyle{ D^{2}(\cdot)}\) to to sa liczby ustalone... stałe
proces odejmowania wartości oczekiwanej i dzielenia przez odchylenie standardowe nazywa sie standaryzacja zmiennej