Prawdopodobieństwo w zadaniu z tranzystorami oraz()

[the moon]

1 W pokoju znajduje się n osób.
(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej dwie osoby urodziły się tego samego dnia roku? Obliczyc to prawdopodobieństwo dla n=50.
(b) Jak duże powinno by n, żeby wspomniane prawdopodobieństwo było większe od 0.5?

Nie mam pomysłu jak rozwiązac powyższe zadanie.


2 Wśród 100 tranzystorów 20 jest uszkodzonych. Wybrano losowo dwa tranzystory (bez zwracania).
(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy z nich jest uszkodzony?

(Obliczyłem i wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{1}{5}*\frac{80}{99} + \frac{1}{5}*\frac{19}{99}}\), nie wiem czy dobrze, ponieważ nie mam odpowiedzi. Mógłby ktoś stwierdzic czy poprawnie to rozwiązałem?)

(b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugi jest uszkodzony, o ile wiadomo, że pierwszy był uszkodzony?

(Podobnie jak w podpunkcie a, obliczyłem i wynik wynosi \(\displaystyle{ \frac{19}{99}}\). Rónież nie wiem czy jest to poprawne rozwiązanie)

(c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że obydwa tranzystory są uszkodzone?

(Mój wynik to \(\displaystyle{ \frac{1}{5}*\frac{19}{99}}\))


Za pomoc serdecznie dziękuję.

[`vekan]

do 2 dobrze jest, ale najlepiej narysuj sobie drzewko gdzie w lewo tranzyt dobry w prawo gałąź tranzyt uszkodzony. Wszystko widać.

[the moon]

Dziękuję za rozwianie moich wątpliwości co do drugiego zadania. Zgadza się na drzewie wszystko widac najlepiej . Czy ma ktoś jakikolwiek pomysł na rozwiązanie pierwszego zadania?

[gvalch'ca]

Pomysł do zadania 1:
Spróbuj odwrócić pytanie:
a) jakie jest prawdopodobieństwo, że NIE było takiej sytuacji? Innymi słowy, jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia "każda z 50 osób urodziła się innego dnia roku". To zapewne umiesz policzyć. Jeśli obliczysz prawdopodobieństwo P tego zdarzenia, to prawdopodobieństwo szukane będzie wynosiło 1-P
b) analogicznie- odwracasz pytanie i kierujesz nierównośc w drugą stronę: ile powinno być osób, by prawdopodobieństwo, że każda z nich urodziła się innego dnia roku było mniejsze niż 0,5?

Niestety, obawiam się, że będzie duuużo liczenia i bez dobrego kalkulatora się nie obędzie. Chyba, że jest jakaś metoda, której ja nie znam
Niemniej, z tego co pamiętam, w podpunkcie b) powinno wyjść jakieś 21 czy 22.

W razie dalszych wątpliwości, pytaj.

[Sir George]

the moon. Ad.1. odpowiedz sobie, jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, tj. kiedy wszystkie n osób ma urodziny innego dnia roku.
Wynosi ono dokładnie
\(\displaystyle{ \fontsize{1}q(n)=\frac{365\cdot364\cdot\ldots\cdot(366-n)}{365^n}}\)
Szukane prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ \fontsize{1.5}p(n)=1-q(n)}\)

Łatwo policzyć \(\displaystyle{ \fontsize{1}p(50)\approx0,97}\)
oraz \(\displaystyle{ \fontsize{1}p(23)\approx0,5073>\frac{1}{2}}\)

Jak łatwo zaobserwować, w przeciętnej klasie w szkole prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej dwaj uczniowie obchodzą tego samego dnia urodziny jest średnio większe od \(\displaystyle{ \fontsize{1}\frac{1}{2}}\)

[gvalch'ca]

Ależ oczywiście, Sir George ma rację, n=23, a nie 21 ani 22
Mimo wszystko zachęcam do samodzielnego sprawdzenia

[the moon]

Dziękuję za pomoc.