Niejednorodne funkcje gęstości prawdopodobieństwa

[trelek2]

Zakładamy że mamy próbkę wygenerowanych liczb z funkcji o stałej gęstości prawdopodobieństwa. Jeśli zadziałamy na tą próbkę funkcją f to otrzymamy nową próbkę. Jaka jest nowa funkcja gęstości prawdopodobieństwa?

Chyba chodzi o to żeby skorzystać z prawa:
\(\displaystyle{ p(y)= \int_{}^{} \delta (y-f(x))dx}\)
Przykład który rozwiązuje: Oryginalna próbka o stałej gęstości prawdopodobieństwa na przedziale [0,1] została poddana funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{x}}\). Jaka jest nowa funkcja gęstości prawdopodobieństwa?
Moje rozwiązanie (nie mam pojęcia czy to dobrze więc proszę o feedback):
Korzystając z faktu że f(x) jest funkcją rosnącą monotonicznie wiemy że będzie ona miała dobrze określoną funkcję odwrotną. Możemy więc chyba w tym przypadku napisać że:
\(\displaystyle{ p(y)= \int_{}^{} \delta (y-f(x))dx= \frac{1}{f'(f ^{-1}(y)) }}\)
Tak więc wychodzi chyba że \(\displaystyle{ p(y)= \frac{1}{2y}}\).

Teraz przykłady gdzie funkcja nie rośnie monotonicznie:
policzyć p(y) dla:
\(\displaystyle{ f(x)= 2x}\) dla \(\displaystyle{ x=[0,0.5]}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)=1}\) dla \(\displaystyle{ x=[0.5,1]}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla wszystkich innych wartości \(\displaystyle{ x}\).
drugi przykład dla \(\displaystyle{ f(x)=-x}\)
i trzeci przykład dla \(\displaystyle{ f(x)=sin(2 \pi x)}\).

Z góry dzięki za pomoc!

[suwak]

Po pierwsze to nie ma czegoś takiego jak funkcja która rośnie monotonicznie.
Funkcja może być monotoniczna czyli rosnąca albo malejąca.

Po drugie nie wiem do czego ci to próbkowanie jak nigdzie go nie rozważasz tylko mając rozkład \(\displaystyle{ X}\) chcesz wyznaczać rozkład \(\displaystyle{ Y = g(X)}\)

Po trzecie jak wprowadzasz jakieś oznaczenia to napisz co to jest \(\displaystyle{ \delta}\)

Ja bym to robił z definicji:

\(\displaystyle{ P(Y \leq y) = P (g(X) \leq y ) = P (X \leq g^{-1}(y))}\)

rozkład \(\displaystyle{ X}\) masz i wystarczy policzyć odpowiednią całkę.

[trelek2]

Acha pomyliłem się. W pierwszym powinno wyjść po prostu 2y.

Suwak, proszę rozpisz to bardziej bo nie wiem jaką całkę miałbym policzyć.

Jeśli chodzi o mój zapis to \(\displaystyle{ \delta}\) to funkcja delta Diraca.

Ps. dzięki za uwagi jeśli chodzi funkcje monotoniczne. Ja uczę się po angielsku i dlatego czasem nie wiem jak coś po polsku się pisze.

[suwak]

Ten wzór z delta Diraca widzę pierwszy raz w życiu.

Liczy całkę taką jaka wynika z definicji dystrybuanty czyli

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{g^{-1}(y)} f(x) dx}\)

gdzie f jest gęstością zmiennej X.