Losowanie liczb których suma jest liczbą nieparzystą

[Bartek1991]

Ze zbioru Z={1, 2, 3, ..., 2n+1} gdzie \(\displaystyle{ n \in N_+}\) wylosowano jednocześnie dwie liczby. Wyznacz n, tak aby prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest liczbą nieparzystą było większe od 7/13.

Określiłem ilość wszystkich zdarzeń elementarnych jako \(\displaystyle{ \Omega = n(2n+1)}\) ale jaka jest moc zbioru w którym suma liczb jest liczbą parzystą?

[Lukasz_C747]

Ilość zdarzeń elementarnych się zgadza.
Suma dwóch liczb jest nieparzysta tylko gdy jedna jest parzysta a druga nieparzysta. Liczb parzystych w zbiorze jest n+1, a parzystych n.
Ilość interesujących nas zdarzeń = \(\displaystyle{ {n+1 \choose 1}{n \choose 1} = (n+1)n}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{n(n+1)}{n(2n+1)} = \frac{n+1}{2n+1}}\)
No i łatwo zauważyć, że dla n=6 otrzymujemy dokładnie 7/13, zatem n<6.

[Bartek1991]

A skąd mam wiedzieć że nieparzystych jest n+1 a parzystych n ?

[Lukasz_C747]

W zbiorze 2n mamy n liczb parzystych i n nieparzystych (liczby parzyste/nieparzyste występują naprzemiennie, więc własność dość oczywista). W zbiorze 2n+1 nieparzystych jest o jeden więcej, bo 2n+1 jest nieparzyste.

[pedro92]

Witam, próbuję zrobić właśnie to zadanie, oczywiście podane tutaj obliczenia się zgadzają, mam pytanie: Dlaczego moc Omegi wynosi n(2n+1) a nie 2n(2n+1)?????????? prosze o szybką odpowiedz bo nie usnę dopóki się nie dowiem.!!

[mat_61]

Ponieważ losujemy 2 elementy spośród 2n+1, czyli możliwości jest:

\(\displaystyle{ {2n+1 \choose 2} = \frac{(2n+1)!}{2 \cdot (2n-1)!} = \frac{(2n-1)! \cdot 2n \cdot (2n+1)}{2 \cdot (2n-1)!} =n(2n+1)}\)