Pionek poruszający się po wierzchołkach trójkąta

Mazzi · Post autor: **Mazzi** » 17 maja 2006, o 23:05

Witam, siedze nad jednym zadankiem, i juz jestem dosc blisko rozwiazania, ale... wlasnie to
'ale' nie moge przejsc. oto tresc zadania:

"W wierzcholku trojkata stoi pionek. Przestawiamy go do jednego z pozostalych wierzcholkow,
wybranego losowo - szanse wyboru kazdego z sasiednich wierzcholkow sa rowne. Niech teraz Pn
oznacza prawdopodobienstwo, ze po n krokach pionek znajdzie sie w wyjsciowym wierzcholku.
Znalezc granice ciagu Pn, n->niesk, o ile istnieje."

Zadania dla przypadku, gdy w ktoryms kroku wrocimy do wierzcholka wyjsciowego i mozliwosc
wyjscia z niego bedzie zamknieta, jest banalne.
Gorszy problem jest przy rozpatrywaniu przypadku, w ktorym mozemy w k-tym kroku (kEdited by Rogal: zapoznaj się z regulaminem, temat poprawiłem.

jasny · Post autor: **jasny** » 17 maja 2006, o 23:10

Po przeanalizowaniu kilku początkowych wyrazów doszedłem do wzoru ogólnego \(\displaystyle{ P(n)=\frac{2^{n}+(-1)^{n+1}}{3\cdot 2^{n}}\). Granica: 1/3.

Mazzi · Post autor: **Mazzi** » 17 maja 2006, o 23:48

pocial mi sie post:/

jasny · Post autor: **jasny** » 18 maja 2006, o 00:03

Mazzi pisze:zas jest ich 6 w rzeczywistosci.

Czy aby na pewno? Spójrz na rysunek. Górny wierzchołek to wierzchołek wyjściowy. /tam mają być nie p tylko n, pomyłka/

No i jest 5 sytuacji z wejściem a nie 6.

Mazzi · Post autor: **Mazzi** » 18 maja 2006, o 00:20

jasny pisze:
Mazzi pisze:zas jest ich 6 w rzeczywistosci.
Czy aby na pewno? Spójrz na rysunek. Górny wierzchołek to wierzchołek wyjściowy. /tam mają być nie p tylko n, pomyłka/
[/URL]
No i jest 5 sytuacji z wejściem a nie 6.

tak ale jesli gorny jest wyjsciowy, to dla p0 nigdzie sie nie ruszasz. a narysowales, ze wedrujesz w lewy wierzcholek. twoje rysunki sa super, ale zakladajac, ze wychodzimy z lewego. dla p0 nigdzie sie nei ruszamy, dla p1 mozemy pojsc albo w gore albo w prawo.

w ten sposob rozumujac wychodzi 6 wejsc do wierzcholka wyjsciowego.

wzor ktory zmodyfikowalem rowniez nie jest poprawny, to jedynke ktora dodaje trzeba dla krokow parzystych dodawac a dla nieparzystych odejmowac. mam to rozpisane do 7go kroku, i tak jakos wychodzi

\(\displaystyle{ P(n)=\left(\frac{2^{n}+(-1)^{n+1}}{3}+(-1)^{n}\right)\cdot 2^{n}}\)

no nic, trzeba isc spac chyba powoli, ale jeszcze raz wzor sprawdze hehe... ah ta matma, w sumie nie kocham jej, ale dla takich zadanek, tymbardziej jak w domku siedze i mysle nad nimi (a nie na kole) to chce sie to studiowac

jasny · Post autor: **jasny** » 18 maja 2006, o 00:24

Mazzi pisze:tak ale jesli gorny jest wyjsciowy, to dla p0 nigdzie sie nie ruszasz. a narysowales, ze wedrujesz w lewy wierzcholek. twoje rysunki sa super, ale zakladajac, ze wychodzimy z lewego. dla p0 nigdzie sie nei ruszamy, dla p1 mozemy pojsc albo w gore albo w prawo.

Według mnie nie masz racji.

Mazzi pisze:"W wierzcholku trojkata stoi pionek. Przestawiamy go do jednego z pozostalych wierzcholkow,
wybranego losowo - szanse wyboru kazdego z sasiednich wierzcholkow sa rowne. Niech teraz Pn
oznacza prawdopodobienstwo, ze po n krokach pionek znajdzie sie w wyjsciowym wierzcholku.

Najpierw przesuwamy pionek z wierzchołka górnego do któregoś dolnego (u mnie lewy, to nie ma znaczenia). I to jest sytuacja wyjściowa. Od tego momentu n to jest ilość kroków.

Mazzi · Post autor: **Mazzi** » 18 maja 2006, o 00:33

jasny pisze:
Mazzi pisze:tak ale jesli gorny jest wyjsciowy, to dla p0 nigdzie sie nie ruszasz. a narysowales, ze wedrujesz w lewy wierzcholek. twoje rysunki sa super, ale zakladajac, ze wychodzimy z lewego. dla p0 nigdzie sie nei ruszamy, dla p1 mozemy pojsc albo w gore albo w prawo.
Według mnie nie masz racji.
Mazzi pisze:"W wierzcholku trojkata stoi pionek. Przestawiamy go do jednego z pozostalych wierzcholkow,
wybranego losowo - szanse wyboru kazdego z sasiednich wierzcholkow sa rowne. Niech teraz Pn
oznacza prawdopodobienstwo, ze po n krokach pionek znajdzie sie w wyjsciowym wierzcholku.
Najpierw przesuwamy pionek z wierzchołka górnego do któregoś dolnego (u mnie lewy, to nie ma znaczenia). I to jest sytuacja wyjściowa. Od tego momentu n to jest ilość kroków.

coz, to juz kwestia chyba interpretacji. jednak tak jak zmodyfikowalem wzor wychodzi, ze powinno byc ok. takze w przypadku granicznym wychodzi 1/3 - wiec tez ok. a ten pierwszy krok nie ma przeciez wplywu na zachowanie sie przy przejsciu z n do niesk.

mi wydaje sie, ze tak jak ja to interpretuje jest ok, choc Twoje rozumowanie tez nei jest zle.

jasny · Post autor: **jasny** » 18 maja 2006, o 00:42

A jednak z treści zadania wynika, że jest tak, jak napisałem post wyżej, różnica jest we wzorze ogólnym. Może i Twoje rozwiązanie jest dobre, tylko w pewnym sensie zmieniasz treść zadania.Granica wychodzi oczywiście ta sama:

Czerwone punkty- Twoje, czarne - moje

_el_doopa · Post autor: **_el_doopa** » 18 maja 2006, o 09:40

przeciez mozna sobie prostacki wzor rekurencyjny udowodnic:
\(\displaystyle{ P(n)={1-P(n-1)\over 2}}\)

jak sie rozwiazwe te rekurencje to dostanmiemy:
\(\displaystyle{ 1/3+2/3*(-1/2)^n={2^n+2*(-1)^n \over 3*2^n}}\)

Mazzi · Post autor: **Mazzi** » 19 maja 2006, o 00:35

_el_doopa pisze:przeciez mozna sobie prostacki wzor rekurencyjny udowodnic:
\(\displaystyle{ P(n)={1-P(n-1)\over 2}}\)

jak sie rozwiazwe te rekurencje to dostanmiemy:
\(\displaystyle{ 1/3+2/3*(-1/2)^n={2^n+2*(-1)^n \over 3*2^n}}\)

pewnie ze mozna, ale ten 'prostacki' wzor wcale nie jest taki prosty do udowodnienia, jesli chce sie to zrobic tak jak nalezy, a ne tylko na sile uzyskac wynik.

nalezy rozpatrzec dwa ciagi, dla parzystych i nieparzystych n.
w sumie prosta sprawa, ale nie kazdy sobie poradzi:)

wracajac do tych naszych dywagacji z jasnym, uwazam, ze interpretacja zadania, czy to moja, czy jasnego, jest prawidlowa, bo nie pytaja nas o nty wyraz, tylko o granice, a ta jest taka sama dla obu rozwazan.