zad. w każdej z trzech jednakowych urn znajduje się 15 kul, w tym dokładnie k białych. Losujemy z każdej urny po jednej kuli. Dla jakiej wartosci k prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie dwóch kul białych jest największe? Obl. to prawdopodobieństwo.
Pytanie: Czy jest na to jakiś inny sposób niż sprawdzanie po kolei każdej wartości k ?
Licząc po kolei wyszło mi że największe jest dla k = 10 ale to mnóstwo liczenia i pewnie jest jakiś sposób
Kule w urnie - k białych...
Kule w urnie - k białych...
Jasne, że istnieje, tyle że unikalne rozwiązanie, a nie sposób, sposób to może być na zupę, uczmy się myśleć a nie podstawiać proszę.
Prawdopobieństwo wylosowania kuli białej z jednej urny to \(\displaystyle{ \frac{k}{15}}\)
Implikując, prawdopodobieństwo wylosowania kuli innej niż biała to \(\displaystyle{ 1-\frac{k}{15}}\)
Wylosowanie dokładnie dwóch kul białych lda n kombinacji to \(\displaystyle{ n \cdot (\frac{k}{15}) ^{2} \cdot (1-\frac{k}{15})}\). Łatwo wywnioskować, że są tylko trzy kombinacje, bo n jest równe trzy po dwa. Funkcja opisująca prawdopodobieństwo ma postać:
\(\displaystyle{ f(k)=3 \cdot (\frac{k}{15}) ^{2} \cdot (1-\frac{k}{15})= \frac{3k ^{2} }{225} - \frac {3k ^{3}}{3375}}\)
Pierwsza pochodna i przyrównanie do zera da rozwiązanie.
\(\displaystyle{ \frac{f(k)}{dk} = \frac {6k}{255} - \frac {9k ^{2}}{3375}= \frac {90k-9k ^{2}}{3375}}\)
\(\displaystyle{ 0=\frac {90k _{max} -9k _{max} ^{2}}{3375}}\)
\(\displaystyle{ 0 =90k _{max}-9k _{max} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 0 = 9k _{max}(10-k _{max})}\)
\(\displaystyle{ k _{max}=0}\) lub \(\displaystyle{ k _{max}=10}\)
Dwa ekstrema, pierwsze to ofc minimum, drugie maksimum.
Prawdopobieństwo wylosowania kuli białej z jednej urny to \(\displaystyle{ \frac{k}{15}}\)
Implikując, prawdopodobieństwo wylosowania kuli innej niż biała to \(\displaystyle{ 1-\frac{k}{15}}\)
Wylosowanie dokładnie dwóch kul białych lda n kombinacji to \(\displaystyle{ n \cdot (\frac{k}{15}) ^{2} \cdot (1-\frac{k}{15})}\). Łatwo wywnioskować, że są tylko trzy kombinacje, bo n jest równe trzy po dwa. Funkcja opisująca prawdopodobieństwo ma postać:
\(\displaystyle{ f(k)=3 \cdot (\frac{k}{15}) ^{2} \cdot (1-\frac{k}{15})= \frac{3k ^{2} }{225} - \frac {3k ^{3}}{3375}}\)
Pierwsza pochodna i przyrównanie do zera da rozwiązanie.
\(\displaystyle{ \frac{f(k)}{dk} = \frac {6k}{255} - \frac {9k ^{2}}{3375}= \frac {90k-9k ^{2}}{3375}}\)
\(\displaystyle{ 0=\frac {90k _{max} -9k _{max} ^{2}}{3375}}\)
\(\displaystyle{ 0 =90k _{max}-9k _{max} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 0 = 9k _{max}(10-k _{max})}\)
\(\displaystyle{ k _{max}=0}\) lub \(\displaystyle{ k _{max}=10}\)
Dwa ekstrema, pierwsze to ofc minimum, drugie maksimum.