niezależność zdarzeń

[neta]

Czy z tego, że \(\displaystyle{ A, B, C}\) są parami niezależne wynika, że:
(a) \(\displaystyle{ A \cap B}\) i \(\displaystyle{ C}\),
(b)\(\displaystyle{ A\cup B}\) i \(\displaystyle{ C}\)
są niezależne?

Proszę o odpowiedź

[Dudenzz]

\(\displaystyle{ P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B)}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap C) = P(A)\cdot P(C)}\)
\(\displaystyle{ P(B \cap C) = P(B)\cdot P(C)}\)

a)
\(\displaystyle{ P((A\cap B)\cap C) = P(A)\cdot P(B)\cdot P(C)}\)

b)
założenie:
C nie jest zdarzeniem niemożliwym.

\(\displaystyle{ P((A\cup B)\cap C) = P((A \cap C) \cup (B \cap C))=P(A)\cdot P(C)+P(B)\cdot P(C) = P(C)(P(A)+P(B))}\)

[neta]

Hmmm nie za bardzo rozumiem o co w tym chodzi
To, że \(\displaystyle{ A,B,C}\) są parami niezależne oznacza, że
\(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A)P(B)}\) oraz \(\displaystyle{ P(A \cap C)=P(A)P(C)}\) oraz \(\displaystyle{ P(B \cap C)=P(B)P(C)}\).

[Dudenzz]

Wcześniej skleił mi się cap z literką w pierwszych trzech wierszach. Dalej to tylko działania na zbiorach, nic w tym nowego .

O co chodzi w b)

\(\displaystyle{ P((A \cup B) \cap C) = P(( (A \cap C) \cup (B \cap C))}\)
Rozdzielność dodawania względem mnożenia.

\(\displaystyle{ P(( (A \cap C) \cup (B \cap C)) = P(A)\cdot P(C)+P(B)\cdot P(C)}\)

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń to suma prawdopodobieństw, teraz wyłącze P(C) przed nawias.
\(\displaystyle{ P(C)(P(A)+P(B))}\)

Co świadczy o tym, że zdarzenia są niezależne.

[neta]

Aha dobra
A nie jest tak czasem tak, że
\(\displaystyle{ P((A \cap B) \cap C)=P(A)P(B)P(C)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy:
\(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) i \(\displaystyle{ P(C)}\) są niezależne?
A my tego nie wiemy, \(\displaystyle{ A,B,C}\) są tylko parami niezależne, czyli tylko wiemy, że \(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A)P(B).}\)
Nie wiemy czy jest niezależność tego z C.
Dzięki za odpowiedź ale nie jestem jej pewna

[Dudenzz]

Niezależność parami implikuje niezależność trójkami.

edit

Przecież,
\(\displaystyle{ P(A \cap B \cap C) = P((A \cap B) \cap C) = P(A \cap (B \cap C))=P(B \cap (A \cap C))}\)

Można pobawić się w szukanie relacji, ale to takie trochę na siłe.

\(\displaystyle{ P(A)=a, P(b)=b, P(C)=c}\)
\(\displaystyle{ (a \cdot b) R c = a R (b \cdot c) = b R ( a \cdot c)}\)

Nie jest trudno stwierdzić, że ta relacja to mnożenie.

[neta]

Ok jeszcze raz dzięki -- 11 lis 2009, o 17:52 --