zdarzenia niezależne

[neta]

Adam, Bolek i Czesio rzucają po kolei monetą. Wygrywa ten, który pierwszy wyrzuci orła.
Znaleźć szanse wygranej dla każdego z graczy.

Proszę o rozwiązanie

[Dudenzz]

Rozkład geometryczny.

\(\displaystyle{ 0<p<1}\)

\(\displaystyle{ P(X=x)=p(1-p) ^{x}}\)

\(\displaystyle{ EX= \frac {1-p} {p}}\)

\(\displaystyle{ D ^{2}X= \frac{1-p} {p ^{2} }}\)

x-liczba porażek przed pierwszym sukcesem

Podpowiem, że najlepiej byłoby rozpatrzyć rozkład rzutu monetą i suma co trzeciech wartości to prawdopodobieństwo wygranej każdego z chłopców.

[sigma_algebra1]

A moze tak?

Zakładając, że moneta jest symetryczna:

Najpierw zastanówmy się jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że nikt nie wygra: oznacza to prawdopodobieństwo równe \(\displaystyle{ ( \frac{1}{2} )^{3n}}\), gdzie n dąży do nieskończoności. Taka granica jest równa 0.

Zatem z prawdopodobieństwem równym 1 ktoś wygra .

Gracze rzucają po kolei, oznacza to, że ktoś któś rzuca pierwszy ma największe szanse wygranej itd.
Oznaczmy jako x - prawdopodobieństwo zdarzenia, że wygra osoba, która rzuca pierwsza (w tym przypadku Adam), Bolek po przegranym rzucie Adama jak gdyby "zaczyna" jako pierwszy więc jest to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}x}\) bo wcześniej z prawdopodobienstwem jedna druga zepsuje Adam i podobnie dla Czesia jest \(\displaystyle{ \frac{1}{4} x}\). Mamy wiec \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{2}x+ \frac{1}{4} x = 1}\) i wyliczasz x i po kolei prawdopodobienstwo dla poszczególnych graczy.

[neta]

Czyli ten kto rzuca pierwszy w tym przypadku Adam ma szanse na wygrane równe \(\displaystyle{ \frac{4}{7}}\), pózniej Bolek \(\displaystyle{ \frac{2}{7}}\) i na końcu Czesio \(\displaystyle{ \frac{1}{7}}\)
Rozumiem już o co w tym chodzi
Bardzo bardzo dziękuję

[sigma_algebra1]

no tak .