Załóżmy, że chcemy policzyć ilość zakładów \(\displaystyle{ n}\), jakie musimy kupić, aby prawdopodobieństwo wylosowania szóstki (jednej) w dużym lotku wynosiło nie mniej niż \(\displaystyle{ P}\). Oznaczmy sobie
Prawdopodobieństwo wylosowania szóstki: . . . . \(\displaystyle{ p= \frac{1}{13983816} \approx 0,0000000715}\)
Prawdopodobieństwo nie wylosowania szóstki: . . . . \(\displaystyle{ q=1-p= \frac{13983815}{13983816} \approx 0,9999999285}\)
Ponadto \(\displaystyle{ k=1}\).
Ze schematu Bernoulliego mamy . . . . \(\displaystyle{ P=npq^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{Pq}{p}=nq^{n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{Pq}{p}ln(q)=nln(q)e^{nln(q)}}\)
Korzystająć z właściwości funkcji W Lamberta otrzymujemy
\(\displaystyle{ nln(q)=W(\frac{Pq}{p}ln(q))}\)
\(\displaystyle{ n=\frac{W(\frac{Pq}{p}ln(q))}{ln(q)}}\)
Wartość wyrażenia. . . . \(\displaystyle{ \frac{q}{p}ln(q)}\). . . . to w przybliżeniu. . . . \(\displaystyle{ -0,99999996424437993759785}\), możemy więc z dobrym przybliżeniem zastąpić to przez \(\displaystyle{ -1}\)
\(\displaystyle{ n \approx \frac{W(-P)}{ln(q)}}\)
Dla wartości poniżej \(\displaystyle{ -\frac{1}{e} \approx -0,367879}\) funkcja przyjmuje wartości zespolone, więc chcąc np. policzyć ilość prób, dla której prawdopodobieństwo wygrania "szóstki" w dużym lotku wyniesie \(\displaystyle{ 0,5}\) otrzymujemy głupotę
Wie ktoś może gdzie popełniłem błąd?