niezależność zdarzeń

[Kaya23]

Proszę o pomoc z zadaniami

Zad. 1 Zdarzenia \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2},...,A_{10}}\) są niezależne i mają
jednakowe prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p}\).
Jaka jest szansa, że zajdzie dokładnie jedno?

Zad. 2 Adam, Bolek i Czesio rzucają po kolei monetą.
Wygrywa ten, który pierwszy wyrzuci orła.
Znaleźć szanse wygranej dla każdego z graczy.

[jacekk]

Zad.1
Prawdopodobieństwo że zajdzie konkretne zdarzenie i (dla i=1..10) wynosi:
\(\displaystyle{ p (1-p)^{9}}\) - zachodzi jedno zdarzenie, a 9 pozostałych nie zachodzi, korzystamy z niezależności zdarzeń
Prawdopodobieństwo, że zajdzie dowolne ze zdarzeń wynosi \(\displaystyle{ 10 p (1-p)^{9}}\).
(jako suma prawdopodobieństw rozłącznych zdarzeń)

-- 4 lis 2009, o 23:13 --

Zad 2.
Możliwe są następujące ciągi rzutów monetą (O=orzeł,R=reszka)
O - wygrywa A (p=1/2)
RO - wygrywa B (p=1/4)
RRO - wygrywa C (p=1/8)
RRRO - wygrywa A (p=1/16)
RRRRO - wygrywa B (p=1/32)
...
Ogólnie A,B i C wygrywają z prawdopodobieństwem odpowiednio:
\(\displaystyle{ p_A = 1/2 + 1/16+ 1/128 + .... = \frac{1}{2} \left( 1+ 1/8 + 1/64 + ...\right)=\frac{1}{2} \frac{1}{1-\frac{1}{8}} =1/2 * 8/7 = 4/7

p_B = 1/4 + 1/32+ 1/256 + .... = \frac{1}{4} \left( 1+ 1/8 + 1/64 + ...\right)=\frac{1}{4} \frac{1}{1-\frac{1}{8}} \right) =1/4 * 8/7 = 2/7

p_C = 1/8 + 1/64+ 1/512 + .... = \frac{1}{8} \left( 1+ 1/8 + 1/64 + ...\right)=\frac{1}{8} \frac{1}{1-\frac{1}{8}} =1/8 * 8/7 = 1/7}\)