Sigma algebra - pytanie

[duch1989]

Dlaczego ta rodzina nie tworzy sigmy algebry:
\(\displaystyle{ \mathcal{F}=\{\o,\Omega,\{1\},\{2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\}\}}\)

i jeszcze jedno:
Niech \(\displaystyle{ a,b \in R, (a<b)}\). Wykazać, że następujące zbiory są borelowskie w \(\displaystyle{ R: (a,b),[a,+\infty),[a,b],(a,b],\{a\}}\),dowolny zbiór przeliczalny N,zbiór liczb niewymiernych.

Dopiero co zaczynam probablistyke a nie jest to moja dobra storna wiec prosilbym o objaśnienie

[mol_ksiazkowy]

Dlaczego ta rodzina
nie tworzy sigmy algebry:

Nie tworzy gdyz suma zbiorów \(\displaystyle{ \{ 1 \}}\) i \(\displaystyle{ \{ 3, 4 \}}\) nie nalezy do \(\displaystyle{ \mathcal{ F}}\)

[Emiel Regis]

Pierwsze pytanie tak jak mój przedmówca już odpowiedział.

Żeby to pojąć bądź pójść cokolwiek dalej wiedz, że zbiory borelowskie są to elementy sigma ciała (= sigma algebry) generowanego przez topologię (w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) naturalna topologia to po prostu wszystkie przedziały otwarte).

Czyli zadanie domowe:
a) zaznajomić się z df sigma algebry
b) wiedzieć co to sigma algebra generowana przez zbiór
c) wiedzieć co to zbiór borelowski

Wtedy natychmiastowo zrobisz to zadanie. Jeśli nie to chętnie służę pomocą.

[Maciej87]

I w związku z domknięciem na przecięcia i sumy- można w miarę łatwo pokazać, że skończone sigma-algebry mają moc równą \(\displaystyle{ 2^{k}}\). A to tutaj ma \(\displaystyle{ 6}\) elementów.