Losujemy 1 kartę - rozkłady brzegowe

[raphel]

Losujemy jedną kartę z talii 24 kart. Oznaczamy przez \(\displaystyle{ X}\) zmienną losową przyjmującą 0 w przypadku wylosowania trefla, 1 - kara, 2 - kiera, 3 - pika. Przez \(\displaystyle{ Y}\) oznaczamy zmienną losową przyjmującą wartości 5,4,3 w przypadkach wylosowania asa, króla, damy i 0 w pozostałych przypadkach.

Podać rozkład zmiennej \(\displaystyle{ (X,Y)}\) oraz rozkłady brzegowe.

proszę o pomoc..

[MisterWolf]

No więc tak:
Te 24 karty to po 6 kart każdego koloru.
Są po 4 asy, króle i damy.

Rozkład brzegowy:
P[X = i] to prawdopodobieństwo, że zmienna losowa równa będzie i (gdzie i może być 0,1, 2 lub 3).
Skoro kart każdego koloru jest po 6 to \(\displaystyle{ P[X = i] = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}}\)
P[Y = j] tu są 2 przypadki:
dla j = 5, 4 lub 3 mamy po 4 figury więc \(\displaystyle{ P[Y = j] = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}}\)
dla j = 0 tzn. pr. że dostaliśmy coś innego niż as, król i dama. Takich kart jest 12 więc \(\displaystyle{ P[Y = j] = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}}\).

Teraz rozkład zmiennej dwuwymiarowej:
2 przypadki ze względu na j j.w.:
dla j = 5, 4 lub 3 \(\displaystyle{ P[X = i, Y = j] = \frac{1}{4} * \frac{1}{6} = \frac{1}{24}}\) bo mnożymy po prostu prawdopodobieństwa, że X = i oraz jednocześnie Y = j (czyli wykorzystujemy rozkłady brzegowe). Przy okazji wychodzi tu niezależność tych zmiennych (to, że np. wylosowaliśmy kiera z pr. 1/4 nie oznacza, że mamy mniejsze, czy większe szanse na wylosowanie np. asa)
dla j = 0 \(\displaystyle{ P[X = i, Y = j] = \frac{1}{4} * \frac{1}{2} = \frac{1}{8}}\) tłumaczenie j.w.