Proces Poissona

[kuch2r]

Niech \(\displaystyle{ \xi}\) będzie zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\).
Ponadto \(\displaystyle{ N(t)}\) będzie procesem Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda_1}\).
Oblicz:
\(\displaystyle{ P\left(N(t+\xi)-N(t)=n \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}\cup \{0\}}\)

W chwili obecnej wychodzą mi straszne klocki z tego, może ktoś z was podsunie jakieś mądre rozwiązanie.

[suwak]

Mi wyszło że to jest n-ty moment centralny z rozkładu wykładniczego o parametrach \(\displaystyle{ \lambda+\lambda_1}\) przemnożony przez stałą zależną od n i lambd. Chyba się tego nie da za bardzo zwinąć w sensowny sposób.

[kuch2r]

Mi wyszło że to jest n-ty moment centralny z rozkładu wykładniczego o parametrach \(\displaystyle{ \lambda+\lambda_1}\) przemnożony przez stałą zależną od n i lambd. Chyba się tego nie da za bardzo zwinąć w sensowny sposób.

to może ja przedstawie swoje rozwiązanie...
\(\displaystyle{ P(N(t+\xi)-N(t)=n)=\int\limits_{0}^{\infty} P(N(t+s)-N(t)=s|\xi=s)\cdot f_{\xi}(s) ds}\)
itd.. w dalszej części obliczeń założyłem, że zmienne \(\displaystyle{ \xi}\) oraz \(\displaystyle{ N(t+s)-N(t)}\) są niezależne. Niestety moje założenie niestety nie musi byc do konca prawdziwe..

[suwak]

W sumie w treści zadania nie jest napisane, że są niezależne, ale nie widzę w jaki sposób można by zrobić to zadanie gdyby były zależne.

Żeby wyznaczyć rozkład warunkowy musiałbyś mieć łączny rozkład \(\displaystyle{ (N(s),\xi)}\) a tego nie ma. Z samych brzegowych nie wymyślisz jak wygląda zależność.

Moim zdaniem to po prostu nie do końca sformułowane zadanie.

[kuch2r]

Mój błąd, w treści zadania ewidentnie jest napisane, że nasze zmienne losowej są niezależne.
Poniżej dla zainteresowanych, przedstawiam rozwiązanie

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ P(N(t+\xi)-N(t)=n)=\int\limits_{0}^{\infty} P(N(t+s)-N(t)=s|\xi=s)\cdot f_{\xi}(s) ds=\\=\int\limits_{0}^{\infty}P(N(t+s)-N(t)=s)\cdot f_{\xi}(s) ds=\int\limits_{0}^{\infty}e^{-\lambda s}\frac{(\lambda s)^{n}}{n!}\lambda_1 e^{-\lambda_1 s} ds=\\=\frac{\lambda_1\cdot \lambda ^{n}}{(n+1)!}\int\limits_{0}^{\infty}(n+1)e^{-s(\lambda + \lambda_1)} \cdot s^{n} ds=\frac{\lambda_1\cdot \lambda ^{n}}{(n+1)!}EX^{n+1}=\frac{\lambda_1\cdot \lambda ^{n}}{(n+1)!}\cdot \frac{(n+1)!}{(\lambda+\lambda_1)^{n+1}}=\\=\frac{\lambda_1\lambda^{n}}{(\lambda +\lambda_1)^{n+1}}}\)
,gdzie \(\displaystyle{ X\sim \mbox{Exp}{(\lambda_1+\lambda)}}\)

[suwak]

Tyle samo mi wyszło