Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję

[bh]

Witam,

Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję dla zmiennej o rozkładzie \(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} 0 \hbox{ gdy } x \leqslant 1\\2(1-\frac{1}{x}) \hbox{ gdy } 1 < x \leqslant a \\1 \hbox{ gdy } x \geqslant a\end{cases}}\)

Mam najpierw obliczyć parametr a, dla którego ta dystrybuanta będzie ciągła, bo jeśli tak, to wychodzi mi dla a=2, a co potem z tym zrobić?

[piotrdx]

Następnie musisz obliczyć gęstość \(\displaystyle{ f(x)=F'(x)}\), czyli

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0 \ dla \ x \le 1 \\ \ \frac{2}{x^2} \dla \ 1<x<2 \\ 0 \ dla \ x \ge 2 \end{cases}}\)

wartość oczekiwana \(\displaystyle{ EX= \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx= \int_{1}^{2}x\frac{2}{x^2}dx}\)
a to już łatwo policzysz
teraz podobnnie policzysz drugi moment \(\displaystyle{ EX^2= \int_{-\infty}^{\infty}x^2f(x)dx= \int_{1}^{2}x^2\frac{2}{x^2}dx}\)
teraz wariancja \(\displaystyle{ VarX=EX^2-(EX)^2}\)

[bh]

Dziękuję Ci ślicznie.

[Emiel Regis]

Jako ciekawostkę dodam, że nie trzeba liczyć gęstości. Dla zmiennych losowych nieujemnych momenty następująco się wyrażają jako całki z dystrybuanty:

\(\displaystyle{ EX^k = k \int_0^{\infty} t^{k-1} (1-F(t))dt}\)