klocki, 7-mio cyfrowa liczba

[monikap7]

Na każdym z sześciennych klocków, które ma Tomek, zapisana jest jedna cyfra. Pewnego dnia chłopiec ustawił w szereg siedem klocków, otrzymując liczbę siedmiocyfrową. Po chwili z utworzonego szeregu wysunął wszystkie klocki z cyfrą 5. Wówczas cyfry na pozostawionych klockach utworzyły liczbę 2010. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że otrzymana liczba siedmiocyfrowa była
a). podzielna przez 3
b). podzielna przez 5
C). podzielna przez 50

[Majorkan]

Z warunków zadania wynika, że mieliśmy klocki: 5,5,5,2,0,1,0
Zauważmy, że każda liczba utworzona z tych klocków ma sumę cyfr równą 18, czyli jest podzielna przez 3, stąd od razu P(A)=1.
Wszystkich liczb siedmiocyfrowych jakie były możliwe do utworzenia z tych klocków jest:
\(\displaystyle{ \frac{7!}{3!\cdot2!}-\frac{6!}{3!}=300}\)
(bierzemy permutacje z powtórzeniami naszego ciągu liczb i odejmujemy te, w których 0 wystepuje na początku)
Dalej: liczba utworzona z naszych klocków nie jest podzielna przez 5, jeśli ma na końcu 1 lub 2. Liczb, które mają na końcu 1, jest \(\displaystyle{ \frac{6!}{3!\cdot2!} - \frac{5!}{3!}=40}\)
(znowu bierzemy odpowiednie permutacje z powtórzeniami i odejmujemy te, które na początku mają zera). Analogicznie liczb z dwójką na końcu jest też 40, zatem w sumie podzielnych przez 5 mamy 300-80=220.
Stąd \(\displaystyle{ P(B)=\frac{11}{15}}\)
Podobnie można zrobić c), przy czym nie musimy rozważać zdarzenia przeciwnego - wygodnie jest wziąć liczby mające na końcu 50 lub 00.

[lukaszdzw37]

Nie zgadzam się z rozwiązaniem Majorkana co do podpunktu b.
W tym zadaniu liczby siedmiocyfrowe mają postać xxx2xxx0xxx1xxx0xxx gdzie x oznacza miejsce w które można wstawić jedną z trzech piątek.
W ogóle mój poprzednik obiera złą przestrzeń zdarzeń,w tym zadaniu omega będzie równa 35.
Najpierw 3 piątki na początku, potem 3 piątki po dwójce, 3 po zerze itd.
Potem 2 piątki na początku jedna po dwójce, 2 na początku jedna po zerze, 2 na początku jedna po jedynce itd.
Następnie jedna na początku dwie po dwójce, jedna na początku dwie po zerze itd.
Na koniec żadne 2 piątki nie mogą sąsiadować czyli kombinacja trzyelementowa ze zbioru pięcioelementowego (3 piątki do rozstawienia na 5 wolnych slotów), po podliczeniu omega wynosi 35.
Jeśli chodzi o podpunkt b to prawdopodobieństwo będzie wynosić 1 gdyż każda siedmiocyfrowa liczba jaką utworzymy będzie zakończona na 0 lub 5.
W podpunkcie c rozpatrzmy wszystkie przypadki kiedy nasza liczba kończy się na 50. Takich możliwości jest 10, łatwo policzyć.
Myślę że wyjaśniłem wszelkie wątpliwości.

[VanHezz]

W c) jest raczej 20 takich możliwości. Na końcu może stać 50 jak i 00. Wtedy prawdopodobieństwo to \(\displaystyle{ \frac{4}{7}}\), a nie tak jak podają w odpowiedziach i wszędzie indziej w internecie, że \(\displaystyle{ \frac{2}{7}}\). Chyba, że coś nie tak myślę.

[janusz47]

Brak uzasadnienia, dlaczego jest \(\displaystyle{ 20 }\) takich możliwości i to prawdopodobiestwo jest równe \(\displaystyle{ \frac{4}{7} }\), a nie \(\displaystyle{ \frac{2}{7}. }\)

[Jan Kraszewski]

W c) jest raczej 20 takich możliwości. Na końcu może stać 50 jak i 00.

Czyżby? A możesz pokazać, jak wygląda liczba, z której po wysunięciu trzech klocków \(\displaystyle{ 5}\) zostaje \(\displaystyle{ 2010}\) i która na końcu ma dwa zera?

JK

[VanHezz]

W c) jest raczej 20 takich możliwości. Na końcu może stać 50 jak i 00.

Czyżby? A możesz pokazać, jak wygląda liczba, z której po wysunięciu trzech klocków \(\displaystyle{ 5}\) zostaje \(\displaystyle{ 2010}\) i która na końcu ma dwa zera?

JK

A faktycznie. Zapomniałem, że zera rozdziela jedynka