funkcja ciągła,zmienne losowe

[chinka90]

Niech \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) będzie funkcją ciągłą oraz \(\displaystyle{ X_{1} , X_{2} , ...}\) zmiennymi losowymi określonymi na \(\displaystyle{ (\Omega , \mathcal{F} , P )}\).Udowodnić,że:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } X_{n} = X}\) z pr \(\displaystyle{ 1}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow \lim_{ n\to \infty } f( X_{n}) = f(X)}\) z pr \(\displaystyle{ 1}\)

[xiikzodz]

Niech \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\).

Mamy:

\(\displaystyle{ \lim P(|X_n-X|>\varepsilon)=0}\)

chcemy:

\(\displaystyle{ \lim P(|f(X_n)-f(X)|>\varepsilon)=0}\).

Rozważmy zbiory:

\(\displaystyle{ B_\delta=\{x:\exists y:|x-y|<\delta \wedge |g(x)-g(y)|>\varepsilon\}}\)

Przypuśćmy teraz, że

\(\displaystyle{ |f(X_n)-f(X)|>\varepsilon}\).

Wówczas:

\(\displaystyle{ |X_n-X|\ge\delta}\)

lub

\(\displaystyle{ X\in B_\delta}\)

znaczy się:

\(\displaystyle{ (\star)P(|f(X_n)-f(X)|>\varepsilon)\le P(|X_n-X|\ge\delta)+P(X\in B_\delta)}\)

Mamy

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|\ge\delta)=0}\)

przy ustalonym \(\displaystyle{ \delta}\) oraz:

\(\displaystyle{ \lim_{\delta\to 0}P(X\in B_\delta)=0}\)

bo \(\displaystyle{ \bigcap B_\delta=\emptyset}\).

Zatem przechodząc w \(\displaystyle{ (\star)}\) do granicy z \(\displaystyle{ \delta}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ P(|f(X_n)-f(X)|>\varepsilon)=0}\).

[Maciej87]

Od czasu do czasu użyteczna jest taka charakteryzacja zbieżności wg prawdopodobieństwa:

Ciąg zbiega wg prawdopodobieństwa do \(\displaystyle{ X}\) wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego podciągu daje się wyjąć podciąg zbieżny prawie na pewno do \(\displaystyle{ X}\).

Weźmy więc podciąg (powiedzmy że \(\displaystyle{ X_n}\) żeby nie było piętrowych indeksów)
W związku z tym, z prawdopodobieństwem 1
\(\displaystyle{ X_{n_k} \rightarrow X}\)
dalej z ciągłości, na tym samym zbiorze miary 1
\(\displaystyle{ f\left( X_{n_k} \right) \rightarrow f(X)}\)
czyli mamy podciąg \(\displaystyle{ f(X_n)}\) p.n. zbieżny

[xiikzodz]

Przy czym dowód tego faktu (przynajmniej mi znany) jest dłuższy od mojego rozwiązania, które korzysta jedynie z definicji.

[Maciej87]

W zasadzie... tak.

Ale pamiętam, jak próbowałem udowodnić z definicji, że granica wg prawdopodobieństwa niezależnych zmiennych losowych jest stała. Mnóstwo frajdy i szok jak mi profesor uprościł rozwiązanie do trzech linijek.