Losowanie 3 cyfr bez zwracania

[aliss91]

Witam, mam problem z pewnym zadaniem :
Ze zbioru {0,1,2...9} losujemy trzy razy bez zwracania po jednej cyfrze i zapisujemy liczbę trzycyfrową, której cyfrą setek jest pierwsza wylosowana l., dziesiątek- druga, jedności - trzecia. Ile wśród tych liczb jest l. parzystych?

Jeśli dobrze mi się wydaje to wszystkich jest - 9*9*8= 648
A parzystych? będą to 0,2,4,6,8 czyli jest ich pięć.
ja to robię tak: 9*9 (8?)*5 =? ale wynik mi wychodzi zły, ma wyjść 328.

Proszę o pomoc.

[mateuszl95]

9*9*8=648
9*9* \(\displaystyle{ \frac{5+4+3}{3}}\) (średnia arytmetyczna)
Dlaczego średnia arytmetyczna?
Bo pierwsze dwie cyfry mogą być dowolne, ale ostatnia musi być parzysta. A wiec po wylosowaniu dwoch cyfr zostana nam 3,4 lub 5 cyfr parzystych. Średnio zostaja wiec 4 cyfry parzyste wiec:
9*9*4=328

[aliss91]

dzięki wielkie, tylko 9*9*4 to 324, no ale może z tyłu książki jest zły wynik, bo tam pisze 328.

[Gotta]

Liczb, które mają na miejscu jedności jedną z cyfr ze zbioru \(\displaystyle{ \{2,4,6,8\}}\) jest \(\displaystyle{ 8\cdot 8\cdot 4=256}\),
liczb mających zero na miejscu jedności jest \(\displaystyle{ 9\cdot 8=72}\)
czyli wszystkich liczb parzystych jest \(\displaystyle{ 256+72=328}\)

[aliss91]

dziekuje bardzo:)
a jeszcze pytanie- czemu zero liczymy osobno?

[bossu01]

Ja też mam wątpliwości co do tego zadania, więc odświeżam temat i proszę o wyjaśnienie dlaczego powyższe rozumowania są poprawne lub niepoprawne:

ja myślałem nad tym zadaniem w ten sposób:

- skoro mowa jest o losowaniu tych liczb to jako liczbę setek można wylosować cyfrę 0 (więc mamy 10 możliwych cyfr do wylosowania) / lub 9 możliwości jeśli 0 pomijamy
- drugą cyfrę losujemy tak czy siak na 9 sposobów (bo w drugim przypadku 0 powróci)
- i teraz losujemy trzecią liczbę, mamy teraz 3, 4 lub 5 cyfr parzystych

z reguły mnożenia wynika, że 10*9*?=328 lub 9*9*?=328

Czy można tu podać dokładną liczbę liczb parzystych?? Moim zdaniem, można podać pewną liczbę minimalną tych liczb dla 3 liczb parzystych w ostatniej fazie losowania, ale wyniki wtedy wynoszą:
10*9*3=270 lub 9*9*3=243

Wynik 328 jest podany w odpowiedziach do tego zadania. Zadanie pochodzi z Vademecum Operonu na maturę 2010 (poz. podstawowy) str. 237, zadanie 18.

@edit:

Już wiem jak dojść do tego wyniku, wystarczy rozrysować drzewko ;p

[marcin22]

Ja mam problem z podobnym zadaniem. Mam do wyboru liczby ze zbioru {1,...,9} i z tego są losowane bez zwracania kolejno 3 cyfry. Mam obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A że dana liczba jest podzielna przez 5.

Ja robię to w ten sposób regułą mnożenia: A = 9*8*1
Oczywiście w odpowiedzi nic się nie zgadza, ale na logikę wydaje mi się że robię dobrze zbiór liczb sprzyjających zdarzeniu bo: liczba setek to jedna z cyfr od 1 do 9, liczba dziesiątek to cyfra z pozostałych 8 cyfr a liczba jedności to cyfra 5.

Co tu jest źle?

[Bieniol]

Proponuję zrobić z tego nowy temat.

Co tu jest źle? Otóż, jeżeli wybrałeś na ostatnie miejsca liczbę \(\displaystyle{ 5}\), to na dwóch pierwszych ta piątka nie może już wystąpić, dlatego:

\(\displaystyle{ n(A)=7 \cdot 8}\)

\(\displaystyle{ n(\Omega)=7 \cdot 8 \cdot 9}\)

Więc:

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1}{9}}\)

Teraz się zgadza?

[marcin22]

Niet, bo ma wyjść prawdopodobieństwo 7/72 (sorry ale nie chce mi się latexem pisać), czyli by wychodziło że na 2 pierwszych pozycjach mają być 7? Bo zrozumiałem już swój błąd że mają być bez zwracania cyfry ale coś tu jest dalej nie tak :/

[Bieniol]

A skąd wiesz, co ma wyjść? To jest z jakiejś książki? Bo jakoś nie widzę innej możliwości..

[marcin22]

Tak, z takiej maturalnej 2010 autora Cewe.

[Bieniol]

Zauważ, że podpunkt b) jest analogiczny do c), a tam nasz tok rozumowania się sprawdza. Wniosek? Błąd w odpowiedziach książki

[marcin22]

Całkiem możliwe bo już ze 3 widziałem błędy w tej książce Tak czy inaczej dzięki.