Prawdopodbienstwo wyniku pozytywnego testu

[podludek]

1.1 Obliczyc prawdopodobienstwo, ze ustalony element n-elementowej populacji
bedzie wylosowany do próby o liczebnosci k, jesli:
a) elementy losujemy bez zwracania,
b) elementy losujemy ze zwracaniem.

Zadanie wydaje się prostę, ale martwie się ze w obu podpunktach wychodzi mi ten sam wynik:

\(\displaystyle{ a) A= 1*{n-1 \choose k-1} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}\)
\(\displaystyle{ Omega= {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}}\)
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{k}{n}}\)

b) \(\displaystyle{ B=1*k*n^{k-1}}\)
\(\displaystyle{ Omega= n^k}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{k}{n}}\)

I drugie zadanie, w ogole nie wiem jak ugryzc

1.5 Test diagnostyczny, majacy na celu wykrycie skaz w sztabkach metalu,
został zastosowany do zbadania pojedynczych sztab wylosowanych z duzej
partii tego wyrobu. Wiadomo, ze przecietnie 5% całej produkcji stanowia
sztabki ze skazami. Ustalono, ze jesli sztabka ma skaze, to w 90% test wskazuje
istnienie skazy (test jest pozytywny) i w 90% test nie wskazuje skazy,
jesli sztabka jest wykonana prawidłowo.
a) Jakie jest prawdopodobienstwo, ze sztabka ma rzeczywiscie skaze, jesli
wynik testu był pozytywny?
b)Jakie bedzie powyzsze prawdopodobienstwo, jeslisztabka zostanie poddana
testowi dwukrotnie i w obu przypadka wyniki testu beda pozytywne?

[darlove]

Na szybko mogę Ci tylko powiedzieć, że to klasyczne zadanie na zastosowanie wzoru Bayesa. Poszukaj sobie czegoś na temat wzoru Bayesa.

[mkb]

W 1.1 b) jeżeli element ma być wylosowany przynajmniej raz, liczba zdarzeń B wynosi:
\(\displaystyle{ B = n ^{k} - (n - 1) ^{k}}\)
Jeżeli ma być wylosowany dokładnie raz, to:
\(\displaystyle{ B = k \cdot (n - 1) ^{k - 1}}\)