Z urny ...Zad. z egzaminów wstępnych na polibudę wrocła

[jakkubek]

W urnie znajduje się m ≥ 3 kul białych i n ≥ 2 kul czarnych. Z urny wyjęto 1 kulę i nie oglądając jej odłożono na bok po czym z urny wylosowano jeszcze 3 kule. Jeżeli wylosowano 3 białe, to jakie jest prawdopodobieństwo, że na początku wylosowano kulę białą?

Ktoś ma jakiś pomysł?

[Yrch]

Znasz moze wynik? Ja probowalem to liczyc ze wzoru Baysa i wyszlo mi cos takiego: \(\displaystyle{ \frac{m(m-3)}{m+n-1}}\) ale o tej godzinie pewnie sie wylozylem w kilku miejscach, wiec sprobuj samemu policzyc z tego wzoru (pewnie jest gdzies na necie).

[jakkubek]

Ja myślałem w ten sposób:
Prawdopodbieństwo, że wyloswano białaą na początku to
\(\displaystyle{ \frac{m}{m+n}}\)
A, że wyloloswano 3 białe to:
\(\displaystyle{ \frac{C_{m-1}^3}{C_{m+n-1}^3}+\frac{C_m^3}{C_{m+n-1}^3}}\)
ale nie mam zielonego pojęcia jak to razem połączyć...

[Yrch]

Wzór Baysa mówi nam:
\(\displaystyle{ P(A_{k}/B)=\frac{P(A_{k})P(B/A_{k})}{P(B)}}\)

Gdzie naszym \(\displaystyle{ A_{k}}\) jest wylosowanie za pierwszym razem kuli białej. B oznacza wylosowanie za drugim razem 3 kul bialych.
\(\displaystyle{ P(A_{k})= \frac{m}{m+n}}\)
\(\displaystyle{ P(B/A_{k})=\frac{m}{n+m}\ \cdot\ \frac{C_{m-1}^{3}}{C_{m+n-1}^{3}}}\)
Czy P(B) nie powinno czasem wygladac tak?:
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{\frac{m}{m+n}\cdot C_{m-1}^{3}+\frac{n}{m+n}\cdot C_{m}^{3}}{C_{m+n-1}^{3}}}\)

W kazdym razie sprobuj podstawic to do wzoru, milej zabawy aj zbijam powtarzac dalej lektury do matury :>