Tw. Lapunowa i centralne tw. granicze

[mr-lipka]

Niech \(\displaystyle{ \{ X_{k}, k \geqslant 1 \}}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach
\(\displaystyle{ P[X_{k} = -2^{k}] = P[X_{k} = 2^{k}] = \frac{1}{2} .}\)

Sprawdzić, czy przy pomocy twierdzenia Lapunowa można udowodnić, że ciąg \(\displaystyle{ \{X_{k} \ \ , \ k \geqslant 1 \}}\) spełnia centralne twierdzenie graniczne.

[Spektralny]

Dla wszelkich \(\displaystyle{ k\geqslant 1}\) mamy

\(\displaystyle{ \mu_k = \mathsf{E} X_k = \frac{1}{2}(-2^k) + \frac{1}{2}(2^k) =0}\).

Zatem

\(\displaystyle{ \sigma^2X_k = \mathsf{E} (X_k- \mu_k)^2 = \mathsf{E} X_k^2 = \frac{1}{2}(-2^k)^2 + \frac{1}{2}(2^k)^2=2^{2k}}\).

Stąd

\(\displaystyle{ s_n^2 = \sum_{k=1}^n \sigma^2X_k = \sum_{k=1}^n 2^{2k} = \frac{4}{3}(4^n - 1)}\)

Weźmy \(\displaystyle{ \delta = 1}\). Mamy

\(\displaystyle{ s_n^{2+1} = s_n^3 = \Big(\sqrt{\frac{4}{3}(4^n - 1)}\Big)^3}\)

Ponadto,

\(\displaystyle{ \mathsf{E} X_k^3 = \frac{1}{2}(-2^k)^3 + \frac{1}{2}(2^k)^3 = 0.}\)

Ostatecznie

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{s_{n}^{2+\delta}} \sum_{i=1}^{n} \mathsf{E}\big[\,|X_{i} - \mu_{i}|^{2+\delta}\,\big] = 0}\)

Więc się stosuje, skąd wynika zbieżność \(\displaystyle{ (X_k / s_k)}\) według rozkładu do rozkładu normalnego \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\).

[Zordon]

\(\displaystyle{ \mathsf{E} X_k^3 = \frac{1}{2}(-2^k)^3 + \frac{1}{2}(2^k)^3 = 0.}\)

Tutaj trzeba patrzeć na \(\displaystyle{ \mathsf{E}|X_k|^3}\), wtedy nie wychodzi .

[Spektralny]

Racja, ponieważ

\(\displaystyle{ \mathsf{E} |X_k|^3 = \frac{1}{2}(2^k)^3 + \frac{1}{2}(2^k)^3 =2^{3k}.}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ \lim_{k\to \infty} \frac{2^{3k}}{\Big( \sqrt{\frac{4}{3}\big(4^k - 1\big)}\Big)^3}\neq 0}\)

Później sprawdzę czy jakieś mniejsze \(\displaystyle{ \delta}\) da radę.

[Zordon]

Nie da rady Zawsze wyjdzie stała granica.