niezależne zmienne losowe [X/(X+Y)]
niezależne zmienne losowe [X/(X+Y)]
niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie gamma z parametrami (1,1).znajdź rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ \frac{X}{(X+Y)}}\)
niezależne zmienne losowe [X/(X+Y)]
Nie pamiętam czy są jakieś twierdzenia o ilorazie zmiennych dla rozkładu gamma, ale na pewno można zrobić z definicji
\(\displaystyle{ P \left(\frac{X}{X+Y} \leq z\right) = P ( X \leq z (X+Y)) = P( X (1-z) \leq zY) = P\left( X \leq \frac{z}{1-z} Y\right)}\)
i teraz liczysz z prawdopodobieństwa całkowitego warunkując względem wartości Y czyli
\(\displaystyle{ \int F_X \left( \frac{zy}{1-z}\right) f_Y(y) dy}\)
\(\displaystyle{ P \left(\frac{X}{X+Y} \leq z\right) = P ( X \leq z (X+Y)) = P( X (1-z) \leq zY) = P\left( X \leq \frac{z}{1-z} Y\right)}\)
i teraz liczysz z prawdopodobieństwa całkowitego warunkując względem wartości Y czyli
\(\displaystyle{ \int F_X \left( \frac{zy}{1-z}\right) f_Y(y) dy}\)