W urnie znajdują się 3 kule białe i 2 czarne

[peterp]

Potrzebuję pomocy przy takim zadaniu:

W urnie znajdują się trzy kule białe i dwie czarne. Powtarzamy następujące doświadczenie: losujemy z urny kulę, odkładamy na bok i dorzucamy do urny kulę białą. Dopiero po trzykrotnym powtórzeniu doświadczenia w urnie nie było już kul czarnych. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w pierwszym doświadczeniu wylosowano kulę czarną.

Będę wdzięczny za pomoc, szczególnie za sposób rozwiązania (krok po kroku).
Pozdrawiam.

[JankoS]

Można tak. Jest to fragment drzewa dla tego zdarzenia, nazwę go A.

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{2}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5}}\).

[peterp]

Moim zdaniem ten rysunek pokazuje sposób obliczenia prawdopodobieństwa zajścia sytuacji opisanej w zadaniu, że po 3 doświadczeniach w urnie nie ma już kul czarnych, a nie takie było pytanie w zadaniu. Taka sytuacja się zdarzyła na pewno i należy policzyć (z jej uwzględnieniem) prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej w 1-szym doświadczeniu.
Tak to widzę, ale niestety nadal nie wiem jak to ugryźć. Chociaż na pierwszy rzut oka zadanie wydaje się proste. Można by spróbować tak: dopiero po trzykrotnym powtórzeniu doświadczenia w urnie nie było już kul czarnych, a więc na pewno w trzecim losowaniu wybrano kulę czarną. Dalej: w pierwszym losowaniu wylosowano kulę czarną, a w drugim białą, albo odwrotnie.
Ale dalej już nie wiem jak to policzyć. Może ktoś ma inne pomysły?
Pozdrawiam.

[mkb]

W trzecim podejściu doświadczenie kończą układy: (cbc) i (bcc). Ich prawdopodobieństwa wynoszą:
\(\displaystyle{ P _{1} = \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{8}{125}}\) dla (cbc),

\(\displaystyle{ P _{2} = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{6}{125}}\) dla (bcc).

Niech:
1. zdarzenie B to zakończenie doświadczenia po trzecim losowaniu, \(\displaystyle{ P(B) = P _{1}+P _{2}}\),
2. Zdarzenie A to wylosowanie pierwszej kuli czarnej: \(\displaystyle{ P(A \cap B) = P _{1} = \frac{8}{125}}\)

wtedy \(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\)

[JankoS]

W trzecim podejściu doświadczenie kończą układy: (cbc) i (bcc).

Tak jest. Jest to prwdopodobieństwo warunkowe.