niezależność zdarzeń

[dorinka_a]

zadanie 1.
Udowodnij, że jeżeli zdarzenia A i B są niezależne, to niezależna jest także para zdarzeń A' i B'

zadanie 2.
Weźmy pod uwagę rodziny posiadające dwoje dzieci. Czy zdarzenia: A - „w rodzinie jest co najwyżej jedna dziewczynka” i B - „w rodzinie są dzieci obu płci” są niezależne?

zadanie 3.
Weźmy pod uwagę rodziny posiadające troje dzieci. Czy zdarzenia: A - „w rodzinie jest co najwyżej jedna
dziewczynka” i B - „w rodzinie są dzieci obu płci” są niezależne?

zadanie 4.
Zadanie S. N. Bernsteina. Przypuśćmy, że w urnie znajdują się 4 kule ponumerowane liczbami: 112, 121, 211, 222. Z urny wyciągamy w sposób losowy jedną kulę. Oznaczmy przez Ai ( i = 1,2,3) zdarzenie polegające na tym, że w numerze wyciągniętej kuli cyfra 1 znajduje się na i -tym miejscu licząc od lewej strony. Wykazać, że zdarzenia A1, A2 , A3 są parami niezależne, natomiast nie są niezależne łącznie.

[lukasz1804]

1. Z niezależności zdarzeń A i B wynika, że \(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A)P(B)}\). Stąd i ze wzorów na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń oraz prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego dostajemy

\(\displaystyle{ P(A'\cap B')=P((A\cup B)')=1-P(A\cup B)=1-(P(A)+P(B)-P(A\cap B))=1-(P(A)+P(B)-P(A)P(B))=1-P(A)-P(B)(1-P(A))=(1-P(A))(1-P(B))=P(A')P(B')}\).

To daje niezależność zdarzeń A' i B'.

[piwko28]

A tu jest zadanie 4:
https://www.matematyka.pl/1502.htm
Pozdrawiam studenta PWr i wielkie dzięki za rozwiązanie