Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Cauchy'ego.Znajdź gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ \alpha X + \beta Y , \alpha \beta \neq 0}\).
dziekuje
Rozkład Cauchy'ego,gęstość
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Rozkład Cauchy'ego,gęstość
Przypuśmy, że
\(\displaystyle{ \eta=\alpha X+ \beta Y}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha\cdot \beta\neq 0}\)
oraz \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Cauchy'ego.
Wówczas
\(\displaystyle{ F_{\eta}(t)=P(\alpha X+ \beta Y<t)=P(X<\frac{t-\beta Y}{\alpha})=\int F_{X}\left(\frac{t-\beta s}{\alpha} \right)\cdot f_{Y}(s)\mbox{ ds}}\)
\(\displaystyle{ \eta=\alpha X+ \beta Y}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha\cdot \beta\neq 0}\)
oraz \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Cauchy'ego.
Wówczas
\(\displaystyle{ F_{\eta}(t)=P(\alpha X+ \beta Y<t)=P(X<\frac{t-\beta Y}{\alpha})=\int F_{X}\left(\frac{t-\beta s}{\alpha} \right)\cdot f_{Y}(s)\mbox{ ds}}\)