Czy zadanie o treści:
Niech \(\displaystyle{ X_1, ... X_n}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na odcinku [0,1]. Znaleźć rozkłady zmiennych
\(\displaystyle{ max(X_1, ... ,X_n)}\)oraz \(\displaystyle{ min( X_1, ... ,X_n)}\)
mogę w jakiś sposób podpiąć do zadania 1???
Ekstrema niezależnych zmiennych losowych
- kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Ekstrema niezależnych zmiennych losowych
Przedstawię tok rozumowania dla jednych z możliwości.porbaj pisze:Czy zadanie o treści:
Niech \(\displaystyle{ X_1, ... X_n}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na odcinku [0,1]. Znaleźć rozkłady zmiennych
\(\displaystyle{ max(X_1, ... ,X_n)}\)oraz \(\displaystyle{ min( X_1, ... ,X_n)}\)
mogę w jakiś sposób podpiąć do zadania 1???
Rozważmy zmienna losową o \(\displaystyle{ \eta=\max{(X_1,X_2,\ldots,X_n)}}\) , gdzie \(\displaystyle{ X_i\sim U(0,1)\ i.i.d}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots,n}\)
Wówczas:
\(\displaystyle{ F_{\eta}(t)=P(\eta <t)=P(\max{(X_1,X_2,\ldots,X_n)}<t)=P(X_1<t,X_2<t,\ldots, X_n<t)=\left(P(X_1<t)\right)^n=F_{X_1}\ ^n(t)}\)