N osiedli jest położonych w odległości 1kmod siebie.Osiedla obsługuje 1 karetka pogotowia.Każde wezwanie z jednakowym prawdopod.pochodzi z dowolnego punktu i zostaje przekazane do karetki, która oczekuje na osiedlu, w którym znajduje się ostatni chory. Jaka jest średnia odległość przejeżdżana przez karetkę w czasie jednego kursu?
Trzeba chyba skorzystać
ze wzoru za w.oczekiwaną EX = \(\displaystyle{ \sum_{1}^{n} E(X |A _{k}) * P(A _{k} )}\)
X-odległośc jaką musi pokonać karetka
\(\displaystyle{ A _{k}}\)- zadarzenie polegające na tym, ze wezwanie otrzymano z k-tego osiedla
(zdarzenia rozłączne)
Tylko jak policzyć
\(\displaystyle{ E(X |A _{k})}\)
Warunkowa wartość oczekiwana
-
lukabesoin
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 28 lis 2008, o 16:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
-
bstq
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
Warunkowa wartość oczekiwana
a czy to nie jest tak, ze wartosc tej zmiennej losowej X zalezy od tego, skad ta karetka jedzie?
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\sum_{1}^{N}\mathbb{E}(X|A_{k})\cdot P(A_{k})=\sum_{k=1}^{N}\left[\sum_{j=1}^{N}\mathbb{E}(X|A_{k},B_{j})\cdot P(B_{j})\right]\cdot P(A_{k})}\)
\(\displaystyle{ B _{j}}\)- zadarzenie polegające na tym, ze poprzednie wezwanie otrzymano z j-tego osiedla
czyli tak:
1) na poczatku znajdujemy sie w jednym osiedlu np.1
2) wezwanie do osiedla piątego, czyli X=4 - jestesmy w 5-tym
3) potem wezwanie do osiedla 10-tego, X=9-4=5 - jestesmy w 10-tym
itd
ostatecznie:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\sum_{1}^{N}\mathbb{E}(X|A_{k})\cdot P(A_{k})=\sum_{k=1}^{N}\left[\sum_{j=1}^{N}\mathbb{E}(X|A_{k},B_{k})\cdot P(B_{k})\right]\cdot P(A_{k})
=\sum_{k=1}^{N}\left[\sum_{j=1}^{N}\mathbb{E}(X|A_{k},B_{j})\cdot\frac{1}{N}\right]\cdot\frac{1}{N}=\frac{1}{N^{2}}\sum_{k=1}^{N}\left[\sum_{j=1}^{N}\left|j-k\right|\right]=\frac{1}{N^{2}}\sum_{k=1}^{N}\left[\sum_{j=k+1}^{N}\left|j\right|\right]=\frac{1}{N^{2}}\sum_{k=1}^{N}\left[\sum_{j=k+1}^{N}j\right]=\frac{1}{N^{2}} \left\{ \sum_{k=1}^{N}\left[\frac{\left(N-k\right)\cdot\left(N+k+1\right)}{2}\right]\right\} =\frac{1}{2N^{2}}\sum_{k=1}^{N}\left[N^{2}+kN+N-kN-k^{2}-k\right]=\frac{1}{2N^{2}}\sum_{k=1}^{N}\left[N^{2}+N-k^{2}-k\right]=\frac{N^{3}}{2N^{2}}+\frac{N^{2}}{2N^{2}}-\frac{1}{2N^{2}}\sum_{k=1}^{N}\left[k^{2}+k\right]=\frac{N}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2N^{2}}\sum_{k=1}^{N}\left[k^{2}+k\right]=\frac{N}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2N^{2}}\left[\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}+\frac{N\left(N+1\right)}{2}\right]=\frac{N}{2}+\frac{1}{2}-\frac{N(N+1)}{2N^{2}}\left[\frac{2N+1}{3}+\frac{1}{2}\right]=\frac{N+1}{2}-\frac{(1+\frac{1}{N})}{2}\left[\frac{4N+2}{3}+\frac{3}{6}\right]=\frac{N+1}{2}-\frac{\left(1+\frac{1}{N}\right)\left(4N+5\right)}{6}}\)
głowy nie daje za poprawnosc rachunkow, ale wydaje mi sie ze tak powinno byc
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\sum_{1}^{N}\mathbb{E}(X|A_{k})\cdot P(A_{k})=\sum_{k=1}^{N}\left[\sum_{j=1}^{N}\mathbb{E}(X|A_{k},B_{j})\cdot P(B_{j})\right]\cdot P(A_{k})}\)
\(\displaystyle{ B _{j}}\)- zadarzenie polegające na tym, ze poprzednie wezwanie otrzymano z j-tego osiedla
czyli tak:
1) na poczatku znajdujemy sie w jednym osiedlu np.1
2) wezwanie do osiedla piątego, czyli X=4 - jestesmy w 5-tym
3) potem wezwanie do osiedla 10-tego, X=9-4=5 - jestesmy w 10-tym
itd
ostatecznie:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\sum_{1}^{N}\mathbb{E}(X|A_{k})\cdot P(A_{k})=\sum_{k=1}^{N}\left[\sum_{j=1}^{N}\mathbb{E}(X|A_{k},B_{k})\cdot P(B_{k})\right]\cdot P(A_{k})
=\sum_{k=1}^{N}\left[\sum_{j=1}^{N}\mathbb{E}(X|A_{k},B_{j})\cdot\frac{1}{N}\right]\cdot\frac{1}{N}=\frac{1}{N^{2}}\sum_{k=1}^{N}\left[\sum_{j=1}^{N}\left|j-k\right|\right]=\frac{1}{N^{2}}\sum_{k=1}^{N}\left[\sum_{j=k+1}^{N}\left|j\right|\right]=\frac{1}{N^{2}}\sum_{k=1}^{N}\left[\sum_{j=k+1}^{N}j\right]=\frac{1}{N^{2}} \left\{ \sum_{k=1}^{N}\left[\frac{\left(N-k\right)\cdot\left(N+k+1\right)}{2}\right]\right\} =\frac{1}{2N^{2}}\sum_{k=1}^{N}\left[N^{2}+kN+N-kN-k^{2}-k\right]=\frac{1}{2N^{2}}\sum_{k=1}^{N}\left[N^{2}+N-k^{2}-k\right]=\frac{N^{3}}{2N^{2}}+\frac{N^{2}}{2N^{2}}-\frac{1}{2N^{2}}\sum_{k=1}^{N}\left[k^{2}+k\right]=\frac{N}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2N^{2}}\sum_{k=1}^{N}\left[k^{2}+k\right]=\frac{N}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2N^{2}}\left[\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}+\frac{N\left(N+1\right)}{2}\right]=\frac{N}{2}+\frac{1}{2}-\frac{N(N+1)}{2N^{2}}\left[\frac{2N+1}{3}+\frac{1}{2}\right]=\frac{N+1}{2}-\frac{(1+\frac{1}{N})}{2}\left[\frac{4N+2}{3}+\frac{3}{6}\right]=\frac{N+1}{2}-\frac{\left(1+\frac{1}{N}\right)\left(4N+5\right)}{6}}\)
głowy nie daje za poprawnosc rachunkow, ale wydaje mi sie ze tak powinno byc