Niech \(\displaystyle{ X_{\left\{t:t\geqslant 0\right\}}}\) będzie procesem stochastycznym o niezależnych i stacjonarnych przyrostach, startującym z \(\displaystyle{ 0}\).
Pokazać, że jeśli istnieje taka stała całkowita \(\displaystyle{ \alpha \geqslant 1}\), że
\(\displaystyle{ \forall\limits_{M>0} \lim\limits_{n\to\infty} \, n\cdot \left(\mathbb{P}\left(\left|X_{\frac{1}{n}}\right| \leqslant \frac{M}{n} \right) \right)^{\alpha} = 0}\)
to prawie wszystkie trajektorie procesu są wszędzie nieróżniczkowalne
-- 1 paź 2009, o 20:03 --
Uwaga: Niech \(\displaystyle{ X_t}\) będzie procesem Wienera. Obierzmy \(\displaystyle{ \alpha=3}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ X_{\frac{1}{n}} \sim \frac{1}{\sqrt{n}}X_1}\),
oraz, obliczając prawdopodobieństwo całką i szacując gęstość przez \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( \frac{1}{\sqrt{n}}\left\|X_1\right\| \leqslant \frac{M}{n} \right) \leqslant
\frac{2M}{\sqrt{n}}}\)
to otrzymujemy, że proces ma p. wszystkie trajektorie nieróżniczkowalne w p. każdym punkcie.
Edit: stacjonarne i niezależne są oczywiście przyrosty, a nie trajektorie