prawdopodobieństwo a gęstość prawdopodobieństwa

(b) · Post autor: **(b)** » 25 wrz 2009, o 16:37

witam, mam pytanko czym sie różni prawdopodobieństwo od gęstości prawdopodobieństwa...
p. na jakimś przedziale ciągłym to całka z funkcji gęstości p. na tym przedziale...po co jest to nazwane funkcją gęstości skoro to jest po prostu p. ...jeżeli wybiorę jakiś punkt z tego przedziału czyli jakąś zmienną losową to określić mogę dla niej wartość p. z krzywej unormowanej...

suwak · Post autor: **suwak** » 25 wrz 2009, o 18:00

Po pierwsze nie ma czegoś takiego jak przedział ciągły i nieciągły jest przedział i tyle.

Po drugie gęstość p. to nie p. Tak samo jak punkt z przedziału to nie zmienna losowa.

Po trzecie polecam przeczytać def. zm los. i zobaczyć co to roz. c. a co to roz. d.

(b) · Post autor: **(b)** » 25 wrz 2009, o 20:17

przeczytałem ale to mi jakoś nie pomogło w znalezieniu odpowiedzi na moje pytanie...wracam więc do niego..
P. że zmienna zmienna losowa ciągła przyjmie wartość z pewnego przedziału to według mojego rozumienia zsumowanie p-tw. na tym przedziale, czyli scałkowanie funkcji p. na tym przedziale...po co więc jest całka z funkcji gęst. prawd. zamiast właśnie po prostu mówić o całce z funkcji p-twa. Proszę bardzo o wyjaśnienie.

suwak · Post autor: **suwak** » 25 wrz 2009, o 21:26

Zdef. co to fun. p. i czym się różni od gęst. prawd.

(b) · Post autor: **(b)** » 25 wrz 2009, o 21:50

nie wiem czym jest gęst prawd. właśnie chciałbym się tego dowiedzieć ... natomiast p. myślę że jest funkcją przypisującą wartościom zmiennej losowej liczbę z zakresu od 0 do 1...sumowanie wszystkich p-tw dla wszystkich możliwych wartości zm. los. daje 1....

suwak · Post autor: **suwak** » 25 wrz 2009, o 22:04

To co mówisz jest prawdziwe tylko dla zmiennych dyskretnych, gdzie prawdopodobieńswo jest skupione w punktach - atomach. Np. rzut kostką. Sytuacja zmienia się diametralnie gdy zaczynamy mówić zmieniamy przestrzeń możliwych wyników eksperymentu ze skończonej ilości do nieskończonej (dokładniej nieprzeliczalnej).

Z opisu koło postu na forum widzę, że masz 19 lat i w tym momencie trochę brakuje ci wiedzy matematycznej żeby to wszystko zrozumieć formalnie, więc zrobię opis słowno-muzyczny.

Ogólnie chodzi o to że mamy coraz więcej zdarzeń, jest ich więcej niż liczb naturalnych i prawdopodbie ństwo otrzymania danego wyniku coraz bardziej maleje - można powiedzieć, że rozrzucamy całe prawdopodobieństwo po możliwych wynikach eksperymentu. W pewnym momencie rozmywa się to do tego stopnia, że prawdopodobieństwo pojedynczego zdarzenia jest zero - np. losujemy jedną liczbę rzeczywistą, z odcinka [0,1].

Gęstość prawdopodobieństwa opisuje właśnie to w jaki sposób prawdopodobieństwo zostało rozrzucone, tam trochę więcej, tam trochę mniej. Całkowanie jest odpowiednikiem sumowania dla infinitezymalnych wartości. Stąd prawdopodobieństwo zbioru to całka z gęstości.

(b) · Post autor: **(b)** » 25 wrz 2009, o 23:15

sorry dzięki ale za muzycznie, czemu ludzie którzy rozumieją nie potrafia prosto tłumaczyć, zobaczymy czy jak zrozumiem nie podam klarownie odpowiedzi......
nie pojmuję nadal jaka jest różnica między p. a gęst p.... dla zmiennej ciągłej w jakimś przedziale jest nieskończona liczba możliwych wartości i odpowiadająca im nieskończona liczba możliwych wartości p-tw...czemu nie można całkować funkcji prawdopodobieństwa na tym przedziale a wprowadza sie inny twór którego potrzeby nie kumam f. gęst....

suwak · Post autor: **suwak** » 26 wrz 2009, o 12:35

Chodzi o to że każdy pojedynczy punkt ma prawdopodobieństwo zero, więc nie da się podać przepisu na prawdopodobieństwo w taki sam sposób jak dla prostego rzutu kostką.

Prawdopodobieństwo to pewna miara, która danemu zdarzeniu przypisuje prawdopodobieństwo jego wystąpienia, a gęstość to jeden ze sposobów opisania tej miary.

Formalnie gęstość to wersja pochodnej Radona-Nikodyma danej miary probabilistycznej względem miary Lebesgue'a. Jeżeli gęstość istnieje to wtedy można zamienić całkę Lebesgue'a na zwykłą całkę Riemanna.

wdsk90 · Post autor: **wdsk90** » 23 kwie 2011, o 21:40

suwak pisze:Jeżeli gęstość istnieje to wtedy można zamienić całkę Lebesgue'a na zwykłą całkę Riemanna.

Może ktoś to uzasadnić (nie liczę na suwaka, bo widzę, że od prawie roku tu nie zagląda)? Z czego to wynika?

bubka · Post autor: **bubka** » 23 kwie 2011, o 22:19

Mi to nie pasuje bo jakby wziąć gęstość f(x) = funkcja charakterystyczna zbioru liczb niewymiernych przeciętego z przedziałem [0,1] to nie można zamienić całki Lebesgua na całke Riemanna bo f jest w nieprzeliczalnie wielu punktach nieciągła. A całka Lebesgua z niej wynosi 1. Chyba że mi jakiejś teorii brakuje.

kristoffwp · Post autor: **kristoffwp** » 23 kwie 2011, o 22:50

Spróbuję ja.
Ile wynosi suma prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń elementarnych?
Odpowiedź: 1.
W takim razie co się dzieje, jeżeli wszystkich zdarzeń jest nieprzeliczanie wiele? (Tzn tyle, ile liczb rzeczywistych). Przykładowo. Ze stacji metro odjeżdża co 5 minut. Wpadamy w losowym momencie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będziemy czekać 2,(1213346754126571234) minuty?
Intuicja mówi chyba, że zero (i tak jest). Dla zmiennych typu ciągłego definiuje się gęstość prawdopodobieństwa, a prawdopodobieństwo jest wówczas całką z gęstości w odpowiednim przedziale(tutaj odrobinkę upraszczam). Weźmy konkretną wartość zmiennej losowej \(\displaystyle{ a}\). Powiedzmy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\)to gęstość prawdopodobieństwa. Wówczas P(a)=\(\displaystyle{ \int_{a}^{a}f(x)dx=0}\). Ale już dla konkretnego przedziału prawdopodobieństwo może być niezerowe, bo i całka będzie w granicach od jakiegoś \(\displaystyle{ a}\) do \(\displaystyle{ b}\). Tak jak powiedzmy da się określić, wracając do przykładu, jakie jest prawdopodobieństwo, że na metro będziemy czekać od 1 do 2 minut.

bubka · Post autor: **bubka** » 23 kwie 2011, o 23:17

czyli ostatecznie może być tak że gęstość nie bedzie całkowalna w sensie Riemanna ?

kristoffwp · Post autor: **kristoffwp** » 24 kwie 2011, o 08:13

Na pewno całka po obrazie (poprzez zmienną losową) zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\) musi istnieć i wynosi \(\displaystyle{ 1}\). Ale całka Lebesgue'a, nie Riemanna. Ale to według mnie drugorzędne jest.

wdsk90 · Post autor: **wdsk90** » 24 kwie 2011, o 10:15

Panowie, tylko jak pisałem o wyjaśnieniu miałem na myśli raczej konkretne fakty a nie takie luźne gatki. Poszperałem trochę i znalazłem coś takiego:

Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}\) będzie nieujemną funkcją dla której istnieje skończona całka niewłaściwa Riemanna \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\mbox{d}x}\). Wtedy \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna w sensie Lebesgue’a.

Pytanie jeszcze czy tak jest też w drugą stronę i czy te całki są wtedy równe. Ale czy w ogóle może być tak, że obie całki istnieją i są różne?

A może ktoś potrafi podać jakąś książkę z teorii miary która to wyjaśni?

kristoffwp · Post autor: **kristoffwp** » 24 kwie 2011, o 12:18

Jeżeli obie całki istnieją, to są równe. Może się zdarzyć, że istnieje całka Lebesgue'a, a nie istnieje całka Riemanna. To kwestia w pewnym sensie lekko "ułomnej" definicji całki Riemanna. Powiedzmy dla funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0, \ dla x\in \mathbb{Q} \cap (0,1) \\ 1, \ dla \ x \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} \cap (0,1) \end{cases}}\) całka Lebesgue'a istnieje i jest równa jeden, czyli tak, jak powinno być. Z całką Riemanna jest za to kłopot.