kule w urnie

[ancia_91]

w urnie znajdują się jedynie kule białe i czarne. kul białych jest trzy razy więcej niż czarnych. Oblicz, ile jest kul w urnie, jeśli przy jednoczesnym losowaniu dwóch prawdopodobieństwo otrzymanie kul o różnych kolorach jest większe od \(\displaystyle{ \frac{9}{22}}\)

[M_L]

\(\displaystyle{ n}\)- liczba kul czarnych
\(\displaystyle{ 3n}\)-kul białych

przyjmujemy, że zdarzenia elementarne to dwuelementowe zbiory wylosowanych kul, czyli

\(\displaystyle{ |\Omega|= {4n \choose 2}= \frac{4n(4n-1)}{2}= 2n(4n-1)}\)

Zdarzenia sprzyjające to takie, w których mamy jedną kulę białą i jedną czarną, jest więc ich

\(\displaystyle{ n \cdot 3n = 3n^2}\)

Teraz musimy rozwiązać nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{3n^2}{2n(4n-1)}> \frac{9}{22}}\)

[Ankaaa993]

z jakiego wzory skorzystałaś przy liczeniu \(\displaystyle{ \Omega}\) ?? bo nie rozumiem tego..

[olik17]

włąśnie, jest na to jakiś wzór?

[Wilkołak]

z jakiego wzory skorzystałaś przy liczeniu \(\displaystyle{ \Omega}\) ?? bo nie rozumiem tego..

Jest to wzór na zwykłą kombinację bez powtórzeń, dokładniej kombinację dwuelementową bez powtórzeń ze zbioru 4n-elementowego. Wszystkich kul jest 4n a my losujemy jedynie dwie. To, jak rozpisał ten symbol Newtona, chyba nie trzeba wyjaśniać? Wystarczy znać jego definicję i definicję silni.

[olik17]

wzór na kombinacje bez powtórzeń jest taki: \(\displaystyle{ C^{k}_{n}=\frac{n!}{k(n-k)!}}\) także coś mi się nie zgadza...-- 25 gru 2009, o 20:15 --wytłumaczy ktoś??

[Wilkołak]

wzór na kombinacje bez powtórzeń jest taki: \(\displaystyle{ C^{k}_{n}=\frac{n!}{k(n-k)!}}\) także coś mi się nie zgadza...

Źle, zjadłeś silnię:
\(\displaystyle{ C^{k}_{n}=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}}\)


Wystarczy rozpisać i wszystko robi się jasne

\(\displaystyle{ {4n \choose 2} = \frac{(4n)!}{2! \cdot (4n-2)!} = \frac{(4n-2)! \cdot (4n-1) \cdot 4n}{1 \cdot 2 \cdot (4n-2)!} = \frac{4n(4n-1)}{2}}\)

[olik17]

jest jakaś regula na to,że mianownik tak rozpisujemy? bo ja bym zostawił tylko samo (4n)!

[Wilkołak]

jest jakaś regula na to,że mianownik tak rozpisujemy? bo ja bym zostawił tylko samo (4n)!

(4n)! jest w liczniku Ja bym tego tak nie zostawiał, skoro można uprościć A kolega wie co to silnia ? Jest na to reguła i wynika wprost z definicji Silnia to iloczyn kolejnych liczb naturalnych, przykładowo:
\(\displaystyle{ 10!}\) możemy rozpisać jako: \(\displaystyle{ 1*2*3*...*7*8*9*10}\), ale można też zapisać jako: \(\displaystyle{ 8!*9*10}\).

[olik17]

tak, teraz już rozumiem, dziękuję! nie mogę wystawić Tobie ,,pomógł"..

-- 25 gru 2009, o 21:09 --

a dlaczego rozpisujęc tą silnię zaczynasz od \(\displaystyle{ (4n-2)!}\) ??-- 25 gru 2009, o 21:09 --chodzi o licznik, oczywiście.