Jak wyliczyć a i b mając daną gęstośc prawdopodobieństwa

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
rrenio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 23 wrz 2009, o 10:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk

Jak wyliczyć a i b mając daną gęstośc prawdopodobieństwa

Post autor: rrenio »

Treść zadania dana jest funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X opisana wzorem. Wyznaczyć wartości parametrów a i b jeśli wartość średnia E(X) zmiennej losowej X wynosi 2 czyli E(X)=2
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0,5\delta(x-a)\ \text{dla}\ x=a\\ b\ \text{dla}\ 2\le x\le 4 \\ 0\ \text{dla}\ x \neq a,\ x<2 \ \text{lub}\ x>4
\end{cases}}\)


Wartość średnia \(\displaystyle{ E(x)= \ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)xdx \ = 2 \\
\\}\)

Z gestości prawdopodobieństwa wyliczylem \(\displaystyle{ 0,5+2b=1\Rightarrow b=0,25}\)
Zatrzymałem się na całce \(\displaystyle{ \int_{a}^{a}0,5\delta(x-a)xdx}\)
Całka z b \(\displaystyle{ \int_{2}^{4}bxdx \ = 1,5 \\}\)
Nie wiem jak wyliczyć \(\displaystyle{ a}\) wykorzystując wartość średnią . Jak obliczyć \(\displaystyle{ a}\) i czy
\(\displaystyle{ b}\) jest dobrze policzone ?
Jeśli ktoś umie pomóc to z góry dziękuje.
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2009, o 14:35 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
suwak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 6 lis 2004, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 9 razy

Jak wyliczyć a i b mając daną gęstośc prawdopodobieństwa

Post autor: suwak »

Zapis jest zły to po pierwsze.

Po drugie nie z tego co widzę to ta zmienna losowa nie ma gęstości względem miary Lebesgue'a więc nie możesz sobie ot tak całkować i trzeba dokonać dekompozycji miary na absolutnie ciągłą i singularną.

Jak się domyślam, to miara ta wygląda tak

\(\displaystyle{ \mu(A) = 0.5\delta_a(A)+\eta(A) 1_{[2,4]}(A)}\)

gdzie dopiero \(\displaystyle{ \eta}\) ma gęstość względem miary Lebesgue'a.

i teraz \(\displaystyle{ EX = \int_\Omega X d\mu}\) i całkujesz w sensie Lebesgue'a, nie Riemanna.
rrenio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 23 wrz 2009, o 10:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Śląsk

Jak wyliczyć a i b mając daną gęstośc prawdopodobieństwa

Post autor: rrenio »

Dziękuje za odpowiedz ale dalej nie wiem jak rozwiązać zadania czy mogę prosić o rozwiązanie.
Pozdrawiam rrenio
suwak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 6 lis 2004, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 9 razy

Jak wyliczyć a i b mając daną gęstośc prawdopodobieństwa

Post autor: suwak »

Ale czego nie wiesz ? Masz rozpisana miarę, wystarczy policzyć całkę Lebesgue'a.

Skąd ja mam wiedzieć dlaczego dalej nie wiesz jak zrobić zadanie? Znowu mam zgadywać tak jak z tematem zadania?
ODPOWIEDZ