Zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym

[Ewa :)]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\), Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=arcsinX-1}\)

Nie chcę sugerować, bo może źle robię, ale zaczynam tak;

\(\displaystyle{ Y~[-2\Pi-1,2\Pi-1];}\)
\(\displaystyle{ f_x= \frac{1}{2} 1_{[-1,1]}}\)
\(\displaystyle{ F_y (y)=P(4arcsinx-1 \le y)=P(x \le sin \frac{y+1}{4} ) = \int_{- \infty }^{sin \frac{y+1}{4}} \frac{1}{2} dx}\)=...
no i mam problemy z tą minus nieskończonością..., więc nie wiem czy mam dobrze granice całkowania, a może w tym zadaniu trzeba podać wynik w zależności od \(\displaystyle{ F_X}\)...

[suwak]

Uwzględnij na jakim przedziale masz niezerową gęstość i problem znika

[Ewa :)]

Serdeczne dzięki

-- 22 września 2009, 17:38 --

Jeszcze tak w ramach upewnienia...
jeżeli wezmę granice całkowania \(\displaystyle{ [-2\Pi-1,2\Pi-1]}\) to \(\displaystyle{ F_Z=2\Pi}\) No i teraz mam kolejny problem..., z gęstością normalnie gęstość jest to pochodna z \(\displaystyle{ F_Z}\), ale pochodna z tego jest równa 0, więc czy jako gęstość korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{b-a} 1_{[a,b]}}\)
Naprawdę dzięki za odpowiedź!

[Janek Kos]

Dla zmiennej losowej Y okreslonej jak wyzej:
\(\displaystyle{ y\in[-\frac{\pi}{2}-1\ ;\ \frac{\pi}{2}-1]}\)

\(\displaystyle{ F_Y(y)=P(Y \le y)=P(arcsinX-1\le y)=F_X(sin(y+1))=\frac{sin(y+1)+1}{2}\\ dla \ y\in[-\frac{\pi}{2}-1\ ;\ \frac{\pi}{2}-1]}\)

\(\displaystyle{ f_Y(y)=F_Y(y)'=\frac{1}{2}cos(y+1)\ \ \ dla \ y\in[-\frac{\pi}{2}-1\ ;\ \frac{\pi}{2}-1]}\)