rozkład zmiennej losowej X z parametrem

[eeyoretest]

Jutro czeka mnie egzamin, i mam problem( wątpliwość) z dwoma zadaniami, czy mógłby ktoś krok po kroku wytłumaczyć mi jak się robi zadania tego typu? :

Zadanie 1

Wiadomo ,ze \(\displaystyle{ E(X)=2}\) i \(\displaystyle{ Var(X)=9}\) wówczas:

\(\displaystyle{ E(X^{2})=13}\) TAK/NIE
\(\displaystyle{ E(3X-1)=5}\) TAK/NIE
\(\displaystyle{ Var(2X-10)=8}\) TAK/NIE

Zadanie 2

Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda =2}\) wówczas:
\(\displaystyle{ Dystrybuanta F _{X}(x) = \begin{cases} 0dla x \le 0 \\1-e ^{-2x} dla x>0 \end{cases}}\)TAK/NIE
P{X>1}=\(\displaystyle{ \frac{1}{e^{2}}}\) TAK/NIE
P{-1 \(\displaystyle{ \le}\) x \(\displaystyle{ \le}\) 1 }= \(\displaystyle{ e^_{2}}\)- \(\displaystyle{ e^_{-2}}\) TAK/NIE

[ahaswer22]

Zadanie 1 wszystko ok oprócz tej wariancji \(\displaystyle{ Var \left(2X-10 \right)=2 ^{2} \cdot Var \left(X \right)=\ldots}\)
Zadanie 2 pierwszy "podpunkt" tak, drugi ok a w trzecim mi wyszło \(\displaystyle{ e ^{-2}-e ^{2}}\) ale mogłem się machnąć

[eeyoretest]

ja wiem które odpowiedzi są poprawne, chodzi mi o sposób ich rozwiązywania, jutro na egzaminie będę miał identyczne zadania tylko z innymi danymi, i nie wiem jak się rozwiązuje te 2 zadania,chodzi mi o odpowiedz krok po kroku, abym mógł to zrozumieć.

[ahaswer22]

W zadaniu 1 wystarczy wiedzieć co to jest wartość oczekiwana i wariancja oraz jakie są ich własności:
a) wiadomo, że \(\displaystyle{ VarX=E \left(X^{2} \right)- \left(EX \right)^{2}}\). Podstawiasz to co masz i wyliczasz to czego nie masz
b) własność wartości oczekiwanej: \(\displaystyle{ E(aX+b)=aEX+b}\)
c) własność wariancji: \(\displaystyle{ Var(aX+b)=a^{2}VarX}\)

Zadanie 2
\(\displaystyle{ P \left(X>1 \right)=1-P \left(X \le 1 \right)=1-F \left(1 \right)=1- \left(1-e^{-2} \right) =e^{-2}}\)
\(\displaystyle{ P\left(-1 \le X \le 1 \right)=P\left(X \ge -1 \wedge X \le 1\right)=1-P\left(X \le -1 \vee X \ge 1\right)=1-P \left(X \le -1 \right) - P\left(X \ge 1 \right)=P \left(X \le 1 \right) -P \left( X \le -1\right)=F \left(1 \right)-F\left(-1 \right)=\ldots}\)

[Suvi]

A czy \(\displaystyle{ F(-1)}\) to nie będzie 0? wtedy odpowiedzią do 2c) powinno byc \(\displaystyle{ 1-e^{-2}}\)?