znaleźć parametr i wartość prawdopodobieństwa

[Armis]

niech p(X = i) =\(\displaystyle{ a \frac{1}{ 2^{i} }}\) i = 0,1,2,3,...... Znajdź parametr a i prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(2 \le X)}\)

[Qń]

Suma wszystkich prawdopodobieństw musi sumować się do jedynki, czyli:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{\infty} a\frac{1}{2^i} = 1}\)
Ale
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{\infty} a\frac{1}{2^i} =a \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{2^i} =a \cdot 2}\)
Stąd \(\displaystyle{ 1=2a}\) czyli \(\displaystyle{ a=\frac{1}{2}}\)

Natomiast:
\(\displaystyle{ P (2 \leq X) = 1- P(2> X) = 1- P(X=0) - P(X=1) = 1- \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}}\)

Q.

[Armis]

Dzieki wielkie