test na chorobę

[siekieracku]

Aby zbadać czy pacjent jest chory na pewną chorobę przeprowadza się test.Jeżeli pacjent jest chory to test daje wynik pozytywny w 99 % przypadkach.Ale test ten może dać również wynik pozytywny w przypadku gdy pacjent jest zdrowy.Tak zdarza się w 2% przypadków.Wiadomo że średnio na 1000 badanych pacjentów 1 osoba jest chora na tę chorobę. oblicz prawdopodobieństwo ,że pacjent jest chory ,jeśli test dla tego pacjenta dał wynik pozytywny.

a) Oblicz prawdopodobieństwo, że pacjent jest chory, jeśli test dla tego pacjenta dał wynik pozytywny.

b)Oblicz prawdopodobieństwo, że dowolny pacjent będzie miał wynik pozytywny.

[czeslaw]

Najprościej, choć może nie do końca matematycznie:
Załóżmy grupę 100000 ludzi przebadanych. Wśród nich 100 ludzi jest chorych (0.1%). U 99 z nich test wypadł pozytywnie. Natomiast 99900 ludzi jest zdrowych, a test wypadł pozytywnie u 2% z nich, czyli u 1998. Łącznie na 100000 osób test wypadł pozytywnie u \(\displaystyle{ 1998+99=2097}\) osob, czyli u \(\displaystyle{ 2.097 \%}\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że pacjent jest chory, jeśli test wypadł pozytywnie? Ano, jest zaledwie 99 osób chorych, a test dał aż 2097 plusów.

\(\displaystyle{ P = \frac{99}{2097} \approx 4.72 \%}\)

[Gotta]

To może ja troszkę bardziej matematycznie:

\(\displaystyle{ H_1}\) - zdarzenie polegające na tym, że pacjent jest chory
\(\displaystyle{ H_2}\) - pacjent jest zdrowy
A - test dał wynik pozytywny


a)
\(\displaystyle{ P(H_1|A)=\frac{P(A|H_1)P(H_1)}{P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)}}\)

\(\displaystyle{ P(H_1)\A)=\frac{0,99\cdot 0,001}{0,99\cdot 0,001+0,02\cdot 0,999}}\)


b)
\(\displaystyle{ P(A)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)=0,99\cdot 0,001+0,02\cdot 0,999}\)