losujemy kolejno dwie liczby

[celia11]

proszę o pomoc w rozwiżzaniu:

Ze zbioru \(\displaystyle{ (1,2,3,..,n) (n\in N,n>3)}\) losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. Oznaczamy je , w kolejności losowania, \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Ile jest takich możliwości wylosowania:

a) dowolnej pary liczb,

b) pary liczb dla której \(\displaystyle{ a>b-1}\)

c) pary liczb, dla której \(\displaystyle{ |a-b|>2}\)


dziekuje

[JankoS]

a) Do każdej z n liczb możemy dolosować inną na n - 1 sposobów. Stąd wszystkich mozliwych par jest \(\displaystyle{ n(n-1)}\). Jest to liczba dwuelementowych wariacji bez powtórzeń z n elementów, co zazwyczaj oznacza się \(\displaystyle{ V ^{2} _{n}}\).
b) Do 1 nie można dolosować liczby b o zadanej własności, do 2 - jedną, a mianowicie 1, do 3 - dwie 1 i 2, do n można dolosować liczbę na n -1 sposobów. Po dodaniu mam:
\(\displaystyle{ 1+2+....+n-1=\frac{1+n-1}{2}(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}}\).
c)
Do 1 możemy dolosować 4, 5, .. , n czyli n-3 liczby. Do 2 możemy dolosować 5,6, ..., n czyli n-4 liczby.
Do 3 możemy dolosować 6,7, ...., n czyli n-5 liczb. Rozumując tak samo.
Do n-2 liczby możemy dolosować n-5 liczb. Do n-1 liczby możemy dolosować n-4 liczb. Do n liczby możemy dolosować n-3 liczb.
Do każdej z n-6 pozostałych liczb możemy dolosować n-5 liczb (bo nie spełniają warunku dwie liczby ją poprzedzające, ona sama i dwie liczby po niej następujące.
Stąd wszystkich par jest \(\displaystyle{ 2(n-3)+2(n-4)+2(n-5)+(n-6)(n-5)}\).