Sadownik sprzedaje czereśnie

[Yenneferzyca]

Sadownik zebrał ze swojego sadu owoce czereśni. Sadownik wie, że każdy owoc jest wadliwy z prawdopodobieństwem 1/10. Lokalna przetwórnia jest gotowa kupić od sadownika wszystkie czereśnie po cenie n za kg, dowolnie podyktowanej przez sadownika (n musi być liczbą naturalną) pod warunkiem, że nie są wadliwe. Sadownik chcąc sprzedać czereśnie zapewnia przetwórnię że jego owoce nie są wadliwe, co przedstawiciel przetwórni zweryfikuje przed sfinalizowaniem transakcji otwierając n losowo wybranych czereśni (im wyższa cena, tym staranniejsza weryfikacja). Jeżeli co najmniej jedna z wybranych czereśni okaże się wadliwa, przetwórnia odstąpi od zakupu i sadownik nie będzie mógł sprzedać swoich plonów.
Jaką cenę powinien ustalić sadownik, aby zmaksymalizować wartość oczekiwaną swojego zarobku?

[Janek Kos]

Niech N bedzie zmienna losowa opisujaca zysk sadownika. Wtedy N=kn lub N=0, dla jakiejs stalej k - ilosc kilogramow i ustalonego przez sadownika n. Wartosc oczekiwana wyraza sie wzorem:

\(\displaystyle{ EN=kn\cdot (0.9)^n+0\cdot(1-0.9^n)=EN=kn\cdot (0.9)^n}\)

jesli potraktowac to jako funkcje od n, to jej maksimum mozna wyrazic poprzez zaleznosc:

\(\displaystyle{ \frac{f(n)}{f(n+1)}=1}\)

wtedy funkcja f osiaga maksimum dla [n]+1, gdzie n jest rozwiazaniem rownania powyzej.

Dla danych z zadania:

\(\displaystyle{ \frac{kn\cdot (0.9)^n}{k(n+1)\cdot (0.9)^{n+1}}=1}\)

latwo mozna wyliczyc, ze n=9, zatem funkcja osiaga maksimum dla n=10.