rzut fałszywą monetą, niezależność zdarzeń
-
Yenneferzyca
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 12 sie 2009, o 20:09
- Płeć: Kobieta
rzut fałszywą monetą, niezależność zdarzeń
W rzucie fałszywą monetą orzeł wypada z prawdopodobieństwem 1/3. Wykonano n niezależnych rzutów tą monetą. Niech E oznacza zdarzenie "w pierwszym rzucie wypadł orzeł", zaś Fk zdarzenie "w sumie wypadło k orłów". Opisz wszystkie pary (n,k) dla których zdarzenia E i Fk są niezależne. W szczególności wypisz wszystkie pary o tej własności w których n jest mniejsze niż 20.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
rzut fałszywą monetą, niezależność zdarzeń
Chcemy, by było: \(\displaystyle{ P(E \cap F_k)=P(E) \cdot P(F_k)}\).
Policzmy występujące w tym wzorze wielkości.
Oczywiście \(\displaystyle{ P(E) = \frac{1}{3}}\).
Ze schematu Bernoulliego mamy też: \(\displaystyle{ P(F_k) = {n \choose k} \cdot \frac{2^{n-k}}{3^n}}\) oraz \(\displaystyle{ P(E \cap F_k)= \frac{1}{3}\cdot {n-1 \choose k-1} \cdot \frac{2^{n-k}}{3^{n-1}}}\) (w drugim wypadku musi być tak, że w \(\displaystyle{ n-1}\) kolejnych rzutach musi wypaść \(\displaystyle{ k-1}\) orłów).
Mamy więc równanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot {n-1 \choose k-1} \cdot \frac{2^{n-k}}{3^{n-1}}= \frac{1}{3} \cdot {n \choose k} \cdot \frac{2^{n-k}}{3^n}}\)
i dalej równoważnie kolejno:
\(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1} = \frac{1}{3} \cdot {n \choose k} \\
{n-1 \choose k-1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{n}{k} \cdot {n-1 \choose k-1} \\
n= 3k}\)
W szczególności więc żądane pary to: \(\displaystyle{ (3,1),(6,2), (9,3), (12,4), (15,5), (18,6)}\)
Q.
Policzmy występujące w tym wzorze wielkości.
Oczywiście \(\displaystyle{ P(E) = \frac{1}{3}}\).
Ze schematu Bernoulliego mamy też: \(\displaystyle{ P(F_k) = {n \choose k} \cdot \frac{2^{n-k}}{3^n}}\) oraz \(\displaystyle{ P(E \cap F_k)= \frac{1}{3}\cdot {n-1 \choose k-1} \cdot \frac{2^{n-k}}{3^{n-1}}}\) (w drugim wypadku musi być tak, że w \(\displaystyle{ n-1}\) kolejnych rzutach musi wypaść \(\displaystyle{ k-1}\) orłów).
Mamy więc równanie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot {n-1 \choose k-1} \cdot \frac{2^{n-k}}{3^{n-1}}= \frac{1}{3} \cdot {n \choose k} \cdot \frac{2^{n-k}}{3^n}}\)
i dalej równoważnie kolejno:
\(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1} = \frac{1}{3} \cdot {n \choose k} \\
{n-1 \choose k-1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{n}{k} \cdot {n-1 \choose k-1} \\
n= 3k}\)
W szczególności więc żądane pary to: \(\displaystyle{ (3,1),(6,2), (9,3), (12,4), (15,5), (18,6)}\)
Q.