Rozkład normalny.

[cesarzurs]

Załóżmy, że \(\displaystyle{ X_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ W_{1}...W_{10}}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz zmienne \(\displaystyle{ W_{1}...W_{10}}\) mają jednakowy rozkład normalny \(\displaystyle{ N \sim (5,1)}\).
Niech \(\displaystyle{ X_{n+1}= \frac{1}{2} X_{n}+ W_{n+1} \ ; \ dla \ n=0,1,..,9}\)

Wiadomo, że zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{0}}\) oraz \(\displaystyle{ X_{10}}\) mają rozkład normalny o jednakowych parametrach. Wyznacz parametry tego rozkładu.

Liczyłem to po swojemu, ale sposób mozolny i do tego kosmiczne liczby wychodzą. Coś jest nie tak.
Proszę o wskazówki. Każda pomoc się przyda.

[zex]

Chyba coś nie tak z tymi indeksami - przy def \(\displaystyle{ X_{n+1} (brakuje W_0)...}\)

[cesarzurs]

Chyba coś nie tak z tymi indeksami - przy def \(\displaystyle{ X_{n+1} (brakuje W_0)...}\)

rzeczywiście był błąd... poprawione, dzięki.

[zex]

hmm...
\(\displaystyle{ EX_{10} = \frac{1}{2} EX_9+ EW_{10} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{2} EX_8 + EW_9) + EW_{10}= \frac{1}{2} ( \frac{1}{2} ( ... \frac{1}{2} ( \frac{1}{2} EX_0 + EW_1) + EW_2 ) + ... ) + EW_{10} = 5+\frac{1}{2} \cdot 5 + ... + (\frac{1}{2})^{9} \cdot 5 + (\frac{1}{2})^{10} EX_0}\)
\(\displaystyle{ EX_0 = EX_{10} = a}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{\frac{5}{2}}{1 - (\frac{1}{2})^{10}} + (\frac{1}{2})^{10} \cdot a}\)
\(\displaystyle{ a = \frac{\frac{5}{2}} {(1-(\frac{1}{2})^{10})^2}}\)
czyli mamy wartość oczekiwaną...jak się nie pomyliłem gdzieś:)

Podobnie z wariancją