Zadanie z którym mam pewien problem
"Mamy urny, białą czerwoną i niebieską zawierające 3 rodzaje kul o tych samych kolorach.
W urnie białej 6 białych, 3 czerwone i 4 niebiekie.
W czerwonej 3 białe, 7 czerwonych i 3 niebieskie.
W niebieskiej 2 białe, 5 czerwonych i 5 niebieskich.
W danym kroku losujemy ze zwracaniem kulę z jednej z urn. W następnym kroku losujemy kulę z urny o takim kolorze jaki był kolor kuli wylosowanej w poprzednim kroku. Jeśli w pierwszym kroku losujemy kule z urny białej to jakie jest prawdopodobieństwo losowania z urny niebieskiej w trzecim kroku? Jakie jest prawdopodobieństwo, że w tysięcznym kroku będziemy losować z czerwonej urny?"
o ile z pierwszym pytaniem nie ma większego problemu. To z drugim zaczynają się schody.
3 urny 1000 losowań
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
3 urny 1000 losowań
witam, odgrzewam temat, proszę o pomoc, tak jak było napisane, zaczynamy od urny białej. czy ktoś wie jak policzyć to prawdopodobieństwo wyboru czerwonej kuli prze tysięcznym losowaniu??
-
jsf
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 3 wrz 2012, o 18:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Komorów k. W-wy
- Pomógł: 17 razy
3 urny 1000 losowań
Ja wiem.
Ozn.
\(\displaystyle{ B}\) - urna biała,
\(\displaystyle{ C}\) - urna czarna,
\(\displaystyle{ N}\) - urna niebieska.
Proces opisany w zadaniu jest jednorodnym łańcuchem Markowa o macierzy przejścia
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}BB&BC&BN\\CB&CC&CN\\NB&NC&NN\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{6}{13}&\frac{3}{13}&\frac{4}{13}\\\frac{3}{13}&\frac{7}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{2}{12}&\frac{5}{12}&\frac{5}{12}\end{array}\right],}\)
gdzie \(\displaystyle{ IJ}\) oznacza prawdopodobieństwo przejścia w jednym kroku z urny koloru \(\displaystyle{ I}\) do urny koloru \(\displaystyle{ J}\).
Kiedy podniesiesz tę macierz do tysiącznej potęgi, to wyraz stojący na miejscu \(\displaystyle{ IJ}\) będzie prawdopodobieństwem przejścia z urny koloru \(\displaystyle{ I}\) do urny koloru \(\displaystyle{ J}\) w tysiącu kroków, czyli nas interesuje wyraz \(\displaystyle{ a_{12}}\) tysiącznej potęgi powyższej macierzy. Samo podnoszenie macierzy do potęgi tysiącznej nie stanowi pewnie większego rachunkowego problemu: , jeżeli tylko potrafisz zapisać liczbę zespoloną w postaci eksponensu.
To odpowiedź na pytanie w zadaniu. Na Twoje pytanie - o prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli w tysiącznym losowaniu - odpowiedź jest nieznacznie trudniejsza. Macierz trzeba podnieść do potęgi tysiąc pierwszej i znów odczytać wyraz \(\displaystyle{ a_{12}}\), bo wylosowanie czerwonej kuli w tysiącznym losowaniu jest równoważne losowaniu z czerwonej urny w losowaniu tysiąc pierwszym. And that's that.
Ozn.
\(\displaystyle{ B}\) - urna biała,
\(\displaystyle{ C}\) - urna czarna,
\(\displaystyle{ N}\) - urna niebieska.
Proces opisany w zadaniu jest jednorodnym łańcuchem Markowa o macierzy przejścia
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}BB&BC&BN\\CB&CC&CN\\NB&NC&NN\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{6}{13}&\frac{3}{13}&\frac{4}{13}\\\frac{3}{13}&\frac{7}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{2}{12}&\frac{5}{12}&\frac{5}{12}\end{array}\right],}\)
gdzie \(\displaystyle{ IJ}\) oznacza prawdopodobieństwo przejścia w jednym kroku z urny koloru \(\displaystyle{ I}\) do urny koloru \(\displaystyle{ J}\).
Kiedy podniesiesz tę macierz do tysiącznej potęgi, to wyraz stojący na miejscu \(\displaystyle{ IJ}\) będzie prawdopodobieństwem przejścia z urny koloru \(\displaystyle{ I}\) do urny koloru \(\displaystyle{ J}\) w tysiącu kroków, czyli nas interesuje wyraz \(\displaystyle{ a_{12}}\) tysiącznej potęgi powyższej macierzy. Samo podnoszenie macierzy do potęgi tysiącznej nie stanowi pewnie większego rachunkowego problemu: , jeżeli tylko potrafisz zapisać liczbę zespoloną w postaci eksponensu.
To odpowiedź na pytanie w zadaniu. Na Twoje pytanie - o prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli w tysiącznym losowaniu - odpowiedź jest nieznacznie trudniejsza. Macierz trzeba podnieść do potęgi tysiąc pierwszej i znów odczytać wyraz \(\displaystyle{ a_{12}}\), bo wylosowanie czerwonej kuli w tysiącznym losowaniu jest równoważne losowaniu z czerwonej urny w losowaniu tysiąc pierwszym. And that's that.