gęstość, rozkład jednostajny

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

gęstość, rozkład jednostajny

Post autor: Hania_87 »

Emiel Regis pisze:jednak łatwo przejść z jednego zapisu na drugi.
jak?

mam takie pytanie
jak powinno być w całości poprawnie rozwiązane to zadanie, bo tu jest juz tyle wersji, że głowa boli
tak od początku do końca, całe rozwiązanie poprawnie, bardzo ładnie proszę

-- 17 września 2009, 16:05 --
Hania_87 pisze:\(\displaystyle{ F_\eta(x)=P(\eta\in (-\infty,x))=P(ln\xi \in (-\infty,x))=P(\xi\in (-\infty,e^x))=F_\eta(e^x)}\)

Różniczkując stronami dostajemy

\(\displaystyle{ f_{\eta}(x)=e^x}\)


la \(\displaystyle{ x\notin [0,1] \qquad F_{\eta}(x)=0,\qquad\text}\)a wiec \(\displaystyle{ f_{\eta}(x)=0}\)


czy to rozwiązania są poprawne?
-- 17 września 2009, 16:06 --\(\displaystyle{ F_{\eta}(x)=P(\eta <x)=P(\ln \xi <x)=P(\xi <e^{x})=F_{\xi}(e^x)=e^x \qquad \text{dla }x\in [0,1]}\)
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

gęstość, rozkład jednostajny

Post autor: Emiel Regis »

Co by się dużo nie opisać to weźmy rozkład jednopunktowy gdzie cała masa siedzi w \(\displaystyle{ x_0}\).

1. \(\displaystyle{ F(x) := P(-\infty,x)}\)

\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} 0 \mbox{ dla } x \le x_0\\1 \mbox{ dla } x > x_0\end{cases}}\)

2. \(\displaystyle{ F(x) := P(-\infty,x]}\)

\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} 0 \mbox{ dla } x < x_0\\1 \mbox{ dla } x \ge x_0\end{cases}}\)

Tak samo gdy masa będzie w różnych punktach \(\displaystyle{ \{x_0, x_1, \ldots\}}\). Po prostu przedziały będą inaczej podomykane.


A przepraszam bardzo, czy rozwiązanie z mojego przedostatniego postu jest jakieś niepełne: >
Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

gęstość, rozkład jednostajny

Post autor: Hania_87 »

Emiel Regis pisze:
\(\displaystyle{ f_Y(y) = \textbf{1}_{[0,1]}(e^y) \cdot e^y = \textbf{1}_{(-\infty,0]}(y) \cdot e^y}\)
nie do końca rozumiem
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

gęstość, rozkład jednostajny

Post autor: Emiel Regis »

Pogrubiona jedynka oczywiście oznacza indykator.

\(\displaystyle{ 0 \le e^y \le 1 \ \ \ \ => \ \ \ \ -\infty < y \le 0}\)

Zresztą jest dość intuicyjne jak się tutaj nośnik zmieni, jeśli \(\displaystyle{ X \in [0,1]}\) to \(\displaystyle{ \ln X \in (-\infty, 0]}\).
Mam nadzieję, że już wszystko jasne.
Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

gęstość, rozkład jednostajny

Post autor: Hania_87 »

nośnik to jest chyba przedział gdzie x jest niezerowy (dany inaczej niż 0)

-- 17 września 2009, 17:12 --
\(\displaystyle{ F_{\eta}(x)=P(\eta <x)=P(\ln \xi <x)=P(\xi <e^{x})=F_{\xi}(e^x)=e^x \qquad \text{dla }x\in [0,1]}\)
Różniczkując stronami dostajemy

\(\displaystyle{ f_{\eta}(x)=e^x}\)


\(\displaystyle{ \text{Dla } x\notin [0,1] \qquad F_{\eta}(x)=0,\qquad\text{a wiec i }f_{\eta}(x)=0}\)
to jest poprawny sposób?

Twoja druga linijka rozwiązania jest dla mnie jakaś dziwna
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

gęstość, rozkład jednostajny

Post autor: Emiel Regis »

O ile dobrze rozumiem to Twoja "gęstość" wynosi \(\displaystyle{ e^x \mbox{ dla } x \in [0,1]}\) a poza tym zero. Oczywiście ta funkcja nie jest nawet gęstością gdyż nie całkuje się do jedynki.
Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

gęstość, rozkład jednostajny

Post autor: Hania_87 »

Emiel Regis pisze:O ile dobrze rozumiem to Twoja "gęstość" wynosi \(\displaystyle{ e^x \mbox{ dla } x \in [0,1]}\) a poza tym zero.
Dobrze rozuniesz
Emiel Regis pisze:Oczywiście ta funkcja nie jest nawet gęstością gdyż nie całkuje się do jedynki.
czyli jest źle, bo warunek dla gęstości z całką, która ma być równa 1, nie jest spełniony
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

gęstość, rozkład jednostajny

Post autor: Emiel Regis »

Otóż to, dlatego chyba najlepiej na spokojnie przeczytaj kilka razy moje rozwiązanie, przejść tam jest naprawdę mało i wynikają one po prostu z analizy. Zastanów się też nad nośnikiem, bo tutaj kluczowy błąd popełniasz.
Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

gęstość, rozkład jednostajny

Post autor: Hania_87 »

Emiel Regis pisze:Zastanów się też nad nośnikiem, bo tutaj kluczowy błąd popełniasz.
jaki?

-- 17 września 2009, 21:43 --

Poprawiłam swój post:
\(\displaystyle{ F_{\eta}(x)=P(\eta <x)=P(\ln \xi <x)=P(\xi <e^{x})=F_{\xi}(e^x)=e^x}\)

Różniczkując stronami dostajemy
\(\displaystyle{ f_{\eta}(x)=e^x dla x\in (-\infty,0]}\)-- 17 września 2009, 21:46 --jest borelowska, bo ciągła
niemalejąca też jest
\(\displaystyle{ \int_{- \infty}^{0} e^x dx= \left[ e^x \right] _{- \infty}^{0}=e^o=1}\)

czyli jest gęstość ok
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

gęstość, rozkład jednostajny

Post autor: Emiel Regis »

No taki, że wcześniej był nim u Ciebie przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\), a teraz już prawidłowo \(\displaystyle{ (-\infty,0]}\). Co prawda nie piszesz skąd teraz już masz poprawny ale rozumiem, że wszystko jasne czyli zmordowaliśmy zadanie, uff.
111sadysta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 556
Rejestracja: 15 mar 2009, o 18:13
Płeć: Kobieta
Podziękował: 57 razy
Pomógł: 30 razy

gęstość, rozkład jednostajny

Post autor: 111sadysta »

Emiel Regis pisze: teraz już prawidłowo \(\displaystyle{ (-\infty,0]}\)

Emiel Regis, dlaczego taki przedział?
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

gęstość, rozkład jednostajny

Post autor: Emiel Regis »

Tak się właśnie zastanawiałem, co na to wszystko autorka tematu...

Może zacytuję:
Emiel Regis pisze:Zresztą jest dość intuicyjne jak się tutaj nośnik zmieni, jeśli \(\displaystyle{ X \in [0,1]}\) to \(\displaystyle{ \ln X \in (-\infty, 0]}\).
Mam nadzieję, że już wszystko jasne.
Dla uściślenia dodam co mój zapis oznacza, \(\displaystyle{ X \in [0,1] \equiv P(X \in [0,1]) = 1}\).

Pozostaje mi powtórzyć ostatnie słowa cytatu: )
Hania_87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 860
Rejestracja: 18 cze 2007, o 20:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rybnik
Podziękował: 86 razy
Pomógł: 57 razy

gęstość, rozkład jednostajny

Post autor: Hania_87 »

dla \(\displaystyle{ x \in (-\infty,0]}\), czy dla \(\displaystyle{ \xi \in (-\infty,0]}\)?
milmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 11 lut 2008, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

gęstość, rozkład jednostajny

Post autor: milmi »

zadanie jest rozwiązane ale mam pytanie do jednej rzeczy mianowicie jak mamy \(\displaystyle{ F_{ \eta} (x)=P(\eta \in (-\infty, x)) = P(\eta < x ) = P(ln\(\xi < x) = P( \xi < e^x) = F(e^x)}\) nie rozumiem dlaczego tam nagle jest \(\displaystyle{ e^{x}}\) jak jest rozwiązana ta nierówność?
ODPOWIEDZ